Ю.С. Волков. Многочлены Эйлера в задаче экстремальной функциональной интерполяции в среднем ... С. 83-97

УДК 517.5

MSC: 41A15

DOI: 10.21538/0134-4889-2020-26-4-83-97

Работа выполнена в рамках государственного задания ИМ СО РАН (проект № 0314-2016-0013) и при частичной финансовой поддержке РФФИ и ННИО (проект № 19-51-12008).

Рассмотрена задача экстремальной функциональной интерполяции в среднем, впервые изучавшаяся Ю.Н. Субботиным. Найдено представление экстремальных функций, дающих решение этой задачи, через многочлены Эйлера, изучены их свойства. Это позволило вычислить значения констант экстремальной интерполяции в среднем в терминах легко вычисляемых значений многочленов Эйлера в определенных точках, а иногда и констант Фавара. Продемонстрировано согласование констант экстремальной функциональной интерполяции в среднем при предельном переходе устремления величины интервала усреднения к нулю с константами экстремальной функциональной интерполяции.

Ключевые слова: многочлены Эйлера, константы Фавара, интерполяция в среднем

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Субботин Ю.Н. Экстремальные задачи функциональной интерполяции и интерполяционные в среднем сплайны // Тр. МИАН СССР. 1975. T. 138. С. 118–173.

2.   Субботин Ю.Н. Экстремальная функциональная интерполяция в среднем с наименьшим значением n-й производной при больших интервалах усреднения // Мат. заметки. 1996. Т. 59, № 1. С. 114–132.

3.   Субботин Ю.Н. Экстремальная в $L_p$ интерполяция в среднем при пересекающихся интервалах усреднения // Изв. РАН. Сер. математическая. 1997. Т. 61, № 1. С. 177–198.

4.   Субботин Ю.Н. О связи между конечными разностями и соответствующими производными // Тр. МИАН СССР. 1965. T. 78. С. 24–42.

5.   Субботин Ю.Н. Функциональная интерполяция в среднем с наименьшей n-й производной // Тр. МИАН СССР. 1967. T. 88. С. 30–60.

6.   Шевалдин В.Т. Некоторые задачи экстремальной интерполяции в среднем // Докл. АН СССР. 1982. T. 267, № 4. С. 803–805.

7.   Шевалдин В.Т. Некоторые задачи экстремальной интерполяции в среднем для линейных дифференциальных операторов // Тр. МИАН СССР. 1983. T. 164. С. 203–240.

8.   Абрамовиц М., Стиган И. (ред.) Справичник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами. М.: Наука, 1979. 832 с.

9.   Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Гипергеометрическая функция. Функции Лежандра. М.: Наука, 1965. 296 с.

10.   Dilcher K. Bernoulli and Euler polynomials // NIST handbook of mathematical functions. Washington: U.S. Dept. Commerce, 2010. P. 587–599. URL: https://dlmf.nist.gov/24 

11.   Корнейчук Н.П. Точные константы в теории приближения. М.: Наука, 1987. 424 с.

12.   Волков Ю.С., Субботин Ю.Н. 50 лет задаче Шёнберга о сходимости сплайн-интерполяции // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2014. Т. 20, № 1. С. 52–67.

13.   Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Т. 1. Элементарные функции. М.: Физматлит, 2002. 632 с.

14.   Волков Ю.С. Об одной задаче экстремальной функциональной интерполяции и константах Фавара // Докл. АН. Математика, информатика, процессы управления. 2020. Т. 495. С. 29–32. doi: 10.31857/S2686954320060193 

15.   Volkov Yu.S. Efficient computation of Favard constants and their connection to Euler polynomials and numbers // Siberian Electronic Math. Reports. 2020. Vol. 17.

16.   Schoenberg I.J. Cardinal interpolation and spline functions // J. Approx. Theory. 1969. Vol. 2, no. 2. P. 167–206.

Поступила 5.06.2020

После доработки 1.11.2020

Принята к публикации 9.11.2020

Волков Юрий Степанович
д-р физ.-мат. наук, доцент
главный науч. сотрудник
Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН
г. Новосибирск
e-mail: volkov@math.nsc.ru

Ссылка на статью: Ю.С. Волков. Многочлены Эйлера в задаче экстремальной функциональной интерполяции в среднем // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2020. Т. 26, № 4. С. 83-97

English

Yu.S. Volkov. Euler polynomials in the problem of extremal functional interpolation in the mean

The problem of extremal functional interpolation in the mean, first studied by Yu. N. Subbotin, is considered. Representations of the extremal functions solving this problem in terms of Euler polynomials are found, and their properties are studied. This made it possible to calculate the values of the extremal interpolation constants in terms of easily computable values of the Euler polynomials at certain points and sometimes Favard constants. The compatibility of the constants of extremal functional interpolation in the mean as the value of the averaging interval tends to zero with the constants of extremal functional interpolation is demonstrated.

Keywords: Euler polynomials, Favard constants, interpolation in the mean

Received June 5, 2020

Revised November 1, 2020

Accepted November 9, 2020

Funding Agency: This work was supported by the Institute of Mathematics, Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences (state contract no. 0314-2016-0013), and partially by the Russian Foundation for Basic Research and the German Research Foundation (project no. 19-51-12008).

Yuriy Stepanovich Volkov, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Sobolev Institute of Mathematics of the Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences, Novosibirsk, 630090 Russia, e-mail: volkov@math.nsc.ru

Cite this article as: Yu.S. Volkov. Euler polynomials in the problem of extremal functional interpolation in the mean, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2020, vol. 26, no. 4, pp. 83–97.

[References -> on the "English" button bottom right]