А.Я. Овсянников. 1-решеточные изоморфизмы моноидов, разложимых в свободное произведение ... С. 142-153

УДК 512.53

MSC: 20M32

DOI: 10.21538/0134-4889-2020-26-3-142-153

Пусть $M$ и $M'$ - моноиды. Обозначим через $\rm {Sub}^1M$ решетку всех подмоноидов моноида $M$. $1$-решеточным изоморфизмом моноида $M$ на моноид $M'$ называется всякий изоморфизм решетки $\rm {Sub}^1M$ на решетку $\rm {Sub}^1M'$. Говорят, что биекция $\varphi$ моноида $M$ на моноид $M'$ индуцирует 1-решеточный изоморфизм $\psi$ $M$ на $M'$, если $\varphi(K)=\psi(K)$ для любого подмоноида $K\in \rm {Sub}^1M$. Моноид $M$ строго $1$-решеточно определяется, если всякий его $1$-решеточный изоморфизм на произвольный моноид индуцируется некоторым изоморфизмом или антиизоморфизмом. Похожие понятия группы, строго определяющейся решеткой подгрупп и полугруппы, строго определяющейся решеткой подполугрупп, давно привлекали внимание и активно изучались в классах групп и полугрупп. В случае моноидов здесь почти ничего не было известно. Однако около 40 лет назад был поставлен вопрос: будет ли произвольный моноид, разложимый в свободное произведение, строго 1-решеточно определяться? Получен исчерпывающий ответ на этот вопрос, а именно доказано, что произвольный моноид, нетривиальным образом разложимый в свободное произведение, строго 1-решеточно определяется. Этот результат перекликается с известными утверждениями о строгой решеточной определяемости как группы, нетривиальным образом разложимой в свободное произведение, так и полугруппы, разложимый в свободное произведение.

Ключевые слова: моноид, решетка подмоноидов, свободное произведение, 1-решеточный изоморфизм

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Гейн А.Г. Конечномерные простые алгебры Ли с решеткой подалгебр длины 3 // Изв. вузов. Математика. 2012. № 10. С. 74—78.

2.   Jones P.R. On semigroups with lower semimodular lattice of subsemigroups // J. Algebra 2010. Vol. 324, no. 9. P. 2089–2111. doi:10.1016/j.jalgebra.2010.07.046 

3.   Кизнер Ф.И. Структурные изоморфизмы свободных произведений полугрупп с единицей или нулем // Мат. сб. 1966. Т. 71, № 2. С. 251–256.

4.   Клиффорд А., Престон Г. Алгебраическая теория полугрупп. М.: Мир, 1972. 287 c.

5.   Korobkov S.S. Lattice definability of certain matrix rings // Sb. Math. 2017. Vol. 208, no. 1. P. 90–102. doi: 10.1070/SM8654 

6.   Korobkov S.S. Projections of finite commutative rings with identity // Алгебра и логика. 2018. Т. 57, № 3. С. 285—305. doi: 10.1007/s10469-018-9492-7 

7.   Ovsyannikov A.J. Epigroups whose subepigroup lattice is lower semimodular // Semigroup Forum. 2013. Vol. 86. P. 155–161. doi: 10.1007/s00233-012-9416-0 

8.   Pioro K. The subalgebra lattice of a finite algebra // Central European J. Math. 2014. Vol. 12, no. 7. P. 1052–1108. doi: 10.2478/s11533-013-0390-x 

9.   Садовский Л.Е. О структурных изоморфизмах свободных произведений групп // Мат. сб. 1947. Т. 63, № 1. С. 63–82.

10.   Шеврин Л.Н., Баранский В.А. Структурные изоморфизмы полугрупп, разложимых в свободное произведение // Мат. сб. 1966. Т. 71, № 2. С. 236–250.

11.   Shevrin L.N., Ovsyannikov A.J. Semigroups and their subsemigroup lattices // Semigroup Forum. 1983. Vol. 27. P. 1–154. doi: 10.1007/BF02572737 

12.   Шеврин Л.Н., Овсянников А.Я. Полугруппы и их подполугрупповые решетки. Ч.2. Свердловск: Изд-во Урал. ун-та, 1990. 246 с.

13.   Shevrin L.N., Ovsyannikov A.J. Semigroups and their subsemigroup lattices. Kluwer Academic Publishers, 1996. 380 p.

14.   Schmidt R. Subgroup Lattices of Groups. W. de Gruyter, Berlin, 2011. 587 pp.

Поступила 1.06.2020

После доработки 26.06.2020

Принята к публикации 6.07.2020

Овсянников Александр Яковлевич
канд. физ.-мат. наук, доцент
Департамент математики, механики и компьютерных наук
Уральского федерального университета
г. Екатеринбург
e-mail: Al.Ovsyannikov@urfu.ru

Ссылка на статью: А.Я. Овсянников. 1-решеточные изоморфизмы моноидов, разложимых в свободное произведение // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2020. Т. 26, № 3. С. 142-153

English

A.Ya. Ovsyannikov. 1-Lattice isomorphisms of monoids decomposable into a free product

Let $M$ and $M'$ be monoids. Denote by $\rm {Sub}^1M$ the lattice of all submonoids of $M$. Any isomorphism of $\rm {Sub}^1M$ onto the lattice $\rm {Sub}^1M'$ is called a 1- lattice isomorphism of $M$ onto $M'$. We say that a bijection $\varphi$ of $M$ onto $M'$ induces a 1-lattice isomorphism $\psi$ of $M$ onto $M'$ if $\varphi(K)=\psi(K)$ for any submonoid $K\in\rm {Sub}^1M$. A monoid $M$ is strictly $1$-lattice determined if any of its 1-lattice isomorphisms onto an arbitrary monoid is induced either by an isomorphism or by an antiisomorphism. The similar notions of a group strictly determined by its subgroup lattice and a semigroup strictly determined by its subsemigroup lattice have long attracted attention and have been actively studied in the classes of groups and semigroups. For monoids almost nothing has been known here. However, the following question was asked about forty years ago: is any monoid that is decomposable into a free product strictly 1-lattice determined? A complete answer to this question is found. Namely, it is proved that an arbitrary monoid nontrivially decomposable into a free product is strictly 1-lattice determined. This result has something in common with the well-known results on the strictly lattice determinability of both a group nontrivially decomposable into a free product and a semigroup decomposable into a free product.

Keywords: monoid, submonoid lattice, free product, 1-lattice isomorphism

Received June 1, 2020

Revised June 26, 2020

Accepted July 6, 2020

Alexander Jacovlevich Ovsyannikov, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Department of Mathematics, Mechanics and Computer Science of the Ural Federal University, Yekaterinburg, 620002 Russia, e-mail: Al.Ovsyannikov@urfu.ru

Cite this article as: A.Ya. Ovsyannikov. 1-Lattice isomorphisms of monoids decomposable into a free product, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki URO RAN, 2020, vol. 26, no. 3, pp. 142–153.

[References -> on the "English" button bottom right]