Я.Н. Нужин. Тензорные представления и порождающие множества инволюций некоторых матричных групп ... С. 133-141

УДК 512.54

MSC: 20G05, 20G15

DOI: 10.21538/0134-4889-2020-26-3-133-141

Работа поддержана Красноярским математическим центром, финансируемым Минобрнауки РФ в рамках мероприятий по созданию и развитию региональных НОМЦ (cоглашение 075-02-2020-1534/1) и РФФИ (проект 19–01–00566).

Хорошо известно, что все неприводимые представления групп Шевалле над бесконечными полями и модулярные представления в хороших характеристиках полей определения исчерпываются подпредставлениями тензорных произведений их естественных представлений. В статье рассматриваются такие конкретные два подпредставления и на их основе получаются ответы на два вопроса о числе порождающих инволюций некоторых матричных групп. Для области целостности $D$ характеристики отличной от 2 установлена неприводимость симметрического и внешнего квадратов естественного представления группы $SL_n(D)$ и вычислены их ядра (теорема 1). Обозначим  через $n(G)$ (соответственно через $n_c(G)$)  минимальное число порождающих (соответственно еще и сопряженных) инволюций группы $G$, произведение которых равно 1. Задачи о нахождении чисел $n(G)$ и $n_c(G)$ для конечных простых групп записаны автором в Коуровской тетради (вопрос 14.69). Исходя из теоремы 1 и неравенства Л.Л. Скотта доказан следующий результат. Пусть $G$ есть $SL_3(D)$ или $SL_6(D)$, где $D$ - область целостности характеристики отличной от 2. Тогда $n(G)>5$, и в частности $G$ не порождается тремя инволюциями, две из которых перестановочны, а если $D$ является кольцом целых чисел или конечным полем (нечетного порядка), то   $n(G)=n_c(G)=6$ (теорема 2).

Ключевые слова: специальная линейная группа над областью целостности, тензорные представления, порождающие множества инволюций

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Стейнберг P. Лекции о группах Шевалле. Москва: Мир, 1975. 263 c.

2.   Коуровская тетрадь / ред. В. Д. Мазуров Е. И. Хухро; Ин-т математики СО РАН. 17-е изд. Новосибирск, 2010. 136 p.

3.   Нужин Я.Н. О порождающих множествах инволюций простых конечных групп // Алгебра и логика. 2019. Vol. 58, №3. P. 426–434.

4.   Scott L.L. Matricies and cohomology // Ann. of Math. 1977. Vol. 105. P. 473–492.

5.   Tamburini M.C., Zucca P. Generation of certain matrix groups by three involutions, two of which commute // J. Algebra. 1997. Vol. 195, no. 2. P. 650–661.

6.   Нужин Я.Н. Порождающие элементы групп лиева типа над конечным полем нечетной характеристики. II // Алгебра и логика. 1997. Vol. 36, №4. P. 422–440.

7.   Нужин Я.Н. О порождаемости группы $PSL_n(\mathbb{Z})$ тремя инволюциями, две из которых перестановочны // Владикавказ. мат. журн. 2008. Vol. 10, №1. P. 68–74.

8.   Levchuk D.V., Nuzhin Ya.N. On generation of the group $PSL_n (\mathbb{Z} + i\mathbb{Z})$ by three involutions, two of which commute // J. Sib. Fed. Univ. Math. Phys. 2008. Vol. 1, no. 2. P. 133–139.

9.   Ward J.M. Generation of simple groups by conjugate involutions / Queen Mary college, University of London. Thesis of Doctor of Philosophy, 2009. 193 p.

10.   Diedonne J. Les determinants sur up corps non commutatif // Bull. Soc. Math. France. 1943. Vol. 71. P. 27–45.

11.   Супруненко Д.А. Группы матриц. Москва: Наука, 1972. 352 с.

12.   Моисеенкова Т.В. Порождающие мультиплеты инволюций групп $SL_n(\mathbb{Z})$ и $PSL_n(\mathbb{Z})$ // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2010. Vol. 16, № 3. P. 195–198.

13.   Gillio B.M., Tamburini M.C. Some class of groups generated by three involutions // Istit. Lombardo Accad. Sci. Lett. Rend. A. 1985. Vol. 116. P. 191–209.

14.   Нужин Я.Н. Порождающие тройки инволюций групп Шевалле над конечным полем характеристики 2 // Алгебра и логика. 1990. Vol. 29, № 2. P. 192–206.

15.   Всемирнов М.А. Является ли группа $\mathrm{SL}(6,\mathbb{Z})$ $(2,3)$-порожденной? // Зап. научн. сем. ПОМИ. 2006. Vol. 330. P. 101–130.

16.   Всемирнов М.А. О $(2,3)$-порождении матричных групп над кольцом целых чисел // Алгебра и анализ. 2007. Vol 19, № 6. P. 22–58.

17.   Martino L.Di., Vavilov N. $(2,3)$-generation of $SL(n,q)$. I. Cases $n = 5,6,7$ // Comm. Algebra. 1994. Vol. 22. P. 1321–1347.

18.   Tabakov K., Tchakerian K. $(2,3)$-generation of the groups $PSL_6(q)$ // Serdica Math. J. 2011. Vol. 37. P. 365–370.

19.   Pellegrini M.A. The $(2,3)$-generation of the special linear groups over finite fields // Bull. Aust. Math. Soc. 2017. Vol. 95, no. 1. P. 48–53.

Поступила 10.05.2020

После доработки 6.07.2020

Принята к публикации 20.07.2020

Нужин Яков Нифантьевич

д-р физ.-мат. наук, профессор

Сибирский федеральный университет

г. Красноярск

e-mail: nuzhin2008@rambler.ru

Ссылка на статью: Я.Н. Нужин. Тензорные представления и порождающие множества инволюций некоторых матричных групп // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2020. Т.26, № 3. С. 133-141

English

Ya.N. Nuzhin. Tensor representations and generating sets of involutions of some matrix groups

It is well known that all irreducible representations of Chevalley groups over infinite fields and modular representations in nice characteristics of fields of definition are exhausted by subrepresentations of tensor products of their natural representations. We consider two specific subrepresentations of this kind and use them to answer two questions on the number of generating involutions of some matrix groups. For an integral domain $D$ of characteristic different from 2, we establish the irreducibility of the symmetric and external squares of the natural representation of the group $SL_n(D)$ and find their kernels (Theorem 1). Denote by $n(G)$ (by $n_c(G)$) the minimum number of generating (and also conjugate, respectively) involutions of $G$ whose product is 1. Problems on finding the numbers $n(G)$ and $n_c(G)$ for finite simple groups are written by the author in the Kourovka Notebook (Question 14.69). Based on Theorem 1 and L.L. Scott's inequality, we prove the following result. Let $G$ be $SL_3(D)$ or $SL_6(D)$, where $D$ is an integral domain of characteristic different from 2. Then $n(G)>5$ and, in particular, $G$ is not generated by three involutions two of which commute; moreover, if $D$ is the ring of integers or a finite field (of odd order), then $n(G)=n_c(G)=6$ (Theorem 2).

Keywords: special linear group over the integral domain, tensor representations, generating sets of involutions

Received May 10, 2020

Revised July 6, 2020

Accepted July 20, 2020

Funding Agency:  This work was supported by the Krasnoyarsk Mathematical Center, which is financed by the Ministry of Science and Higher Education of the Russian Federation within the project for the establishment and development of regional centers for mathematical research and education (agreement no. 075-02-2020-1534/1), and by the Russian Foundation for Basic Research (project no. 19-01-00566).

Yakov Nifant’evich Nuzhin, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Siberian Federal University, pr. Svobodnyi 79, Krasnoyarsk, 660041 Russia, e-mail: nuzhin2008@rambler.ru

Cite this article as: Ya.N. Nuzhin. Tensor representations and generating sets of involutions of some matrix groups, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki URO RAN, 2020, vol. 26, no. 3, pp. 133–141.

[References -> on the "English" button bottom right]