Ю.В. Беккер, Д.В. Левчук, Е.А. Сотникова. Автоморфизмы колец нефинитарных нильтреугольных матриц ... С. 7-13

УДК 512.554

MSC: 22E05

DOI: 10.21538/0134-4889-2020-26-3-7-13

Работа поддержана Красноярским математическим центром, финансируемым минобрнауки РФ в рамках создания и развития региональных НОМЦ (Соглашение 075-02-2020-1534/1).

Пусть $K$ - ассоциативное кольцо с единицей и $\Gamma$ - произвольное линейно упорядоченное множество (кратко - цепь). Матрицы $\alpha =\|a_{ij}\|$ над $K$ с индексами $i,j$ из $\Gamma$ относительно линейных операций всегда образуют $K$-модуль $M(\Gamma, K)$. Матричное умножение в этом модуле, вообще говоря, не определено, когда $\Gamma$ - бесконечная цепь. Известное кольцо с матричными умножением и сложением образуют финитарные матрицы в $M(\Gamma, K)$. С другой стороны, в 2019 г.  установлено, что для цепи $\Gamma={\mathbb N}$ натуральных чисел подмодуль в $M(\Gamma, K)$ всех (нижних) нильтреугольных матриц с матричным умножением дает радикальное кольцо $NT(\Gamma,K)$. Его присоединенная группа изоморфна предельной унитреугольной группе. Автоморфизмы группы $UT(\infty,K)$ над полем $K$ порядка больше 2 ранее изучала Р. Словик. В настоящей статье доказано, что бесконечная цепь $\Gamma$ изометрична или антиизометрична цепи ${\mathbb N}$ или цепи всех целых чисел, если $NT (\Gamma ,K)$ с матричным умножением является кольцом. Когда кольцо коэффициентов $K$ - без делителей нуля, основная теорема показывает стандартность автоморфизмов кольца $NT({\mathbb N},K)$ и ассоциированного кольца Ли, а также присоединенной группы.

Ключевые слова: радикальное кольцо, алгебра Шевалле, нильтреугольная подалгебра, унитреугольная группа, нефинитарные обобщения, автоморфизм

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Левчук В.М. Некоторые локально нильпотентные кольца и их присоединенные группы // Мат. заметки. 1987. Т. 42, № 5. С. 631–641.

2.   Kuzucuoglu F., Levchuk V.M. Isomorphism of certain locally nilpotent finitary groups and associated rings // Acta Appl. Math. 2004. Vol. 82, no. 2. P. 169–181. doi: 10.1023/B:ACAP.0000027533.59937.14 

3.   Мерзляков Ю. И. Эквиподгруппы унитреугольных групп: критерий самонормализуемости // Докл. РАН. 1994. Т.339, № 6. С. 732–735.

4.   Холубовски В. Алгебраические свойства групп бесконечных матриц: автореферат дис. ... д-ра физ.-мат. наук / С.-Петерб. гос. ун-т. Санкт-Петербург, 2007. 27 с.

5.   Холубовски В. Алгебраические свойства групп бесконечных матриц. Gliwice: Wydawnictwo Politechniki Slaskiej, 2017. 136 p.

6.   Slowik R. Bijective maps of infinite triangular and unitriangular matrices preserving commutators // Linear and Multilinear Algebra. 2013. Vol. 61, no. 8. P. 1028–1040. doi: 10.1080/03081087.2012.728214 

7.   Levchuk V. M., Radchenko O. V. Derivations of the locally nilpotent matrix rings // J. Algebra Appl. 2010. Vol. 9, no. 5. С. 717–724. doi: 10.1142/S0219498810004154 

8.   Holubowski W., Slowik R. Parabolic subgroups of groups of column-finite infinite matrices // Linear Algebra Appl. 2012. Vol. 437, no. 2. P. 519—524. doi: 10.1016/j.laa.2012.02.020 

9.   Левчук В.М., Беккер Ю.В., Сотникова Е.А. Нефинитарные обобщения нильтреугольных подалгебр алгебр Шевалле // Изв. Иркут. гос. ун-та. Сер. Математика. 2019. Т. 29. С. 39–51. doi: 10.26516/1997-7670.2019.29.39

10.    Курош А. Г. Общая алгебра. СПб.: Лань, 1975. 262 c.

11.   Kuratovski K., Mostovski A. Set theory. Amsterdam: North-Holland, 1968. 417 p. (Ser. Studies in Logic and the Foundations of Mathematics).

12.   Dubish R., Perlis S. On total nilpotent groups // Amer. J. Math. 1951. Vol.73, no. 3. P. 439–452.

13.   Левчук В.М. Связи унитреугольной группы с некоторыми кольцами. II. Группы автоморфизмов // Сиб. мат. журн. 1983. Т. 24, № 4. C. 543–557.

Поступила 11.07.2020

После доработки 22.07.2020

Принята к публикации 10.08.2020

Беккер Юлианна Владимировна
аспирант
Институт математики и фундаментальной информатики
Сибирского федерального университета, г. Красноярск
e-mail: angel220@bk.ru

Левчук Денис Владимирович
канд.физ.-мат.наук, доцент кафедры МОДУС
Институт математики и фундаментальной информатики
Сибирского федерального университета, г. Красноярск
e-mail: Dlevchuk82@mail.ru

Сотникова Елена Андреевна
магистрант
Институт математики и фундаментальной информатики
Сибирского федерального университета, г. Красноярск
e-mail: olgaRV520@yandex.ru

Ссылка на статью: Ю.В. Беккер, Д.В. Левчук, Е.А. Сотникова. Автоморфизмы колец нефинитарных нильтреугольных матриц // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2020. Т. 26, № 3. С. 7-13

English

Yu.V. Bekker, D.V. Levchuk, E.A. Sotnikova. Automorphisms of rings of nonfinitary niltriangular matrices

Let $K$ be an associative ring with identity, and let $\Gamma$ be an arbitrary linearly ordered set (briefly, chain). Matrices $\alpha=\|a_{ij}\|$ over $K$ with indices $i$ and $j$ from $\Gamma$ with respect to linear operations always form a $K$-module $M(\Gamma, K)$. The matrix multiplication in $M(\Gamma,K)$ is generally not defined if $\Gamma$ is an infinite chain. The finitary matrices in $M(\Gamma,K)$ form a known ring with matrix multiplication and addition. On the other hand, as proved in 2019, for the chain $\Gamma={\mathbb N}$ of natural numbers, the submodule in $M(\Gamma, K)$ of all (lower) niltriangular matrices with matrix multiplication and addition gives a radical ring $NT(\Gamma,K)$. Its adjoint group is isomorphic to the limit unitriangular group. The automorphisms of the group $UT(\infty,K)$ over a field $K$ of order greater than 2 were studied by R. Slowik. In the present paper, it is proved that any infinite chain $\Gamma$ is isometric or anti-isometric to the chain ${\mathbb N}$ or the chain of all integers if $NT(\Gamma,K)$ with matrix multiplication is a ring. When the ring of coefficients $K$ has no divisors of zero, the main theorem shows that the automorphisms of $NT({\mathbb N},K)$ and of the associated Lie ring, as well as of the adjoint group, are standard.

Keywords: radical ring, Chevalley algebra, niltriangular subalgebra, unitriangular group, nonfinitary generalizations, automorphism

Received July 11, 2020

Revised July 22, 2020

Accepted August 10, 2020

Funding Agency: This work is supported by the Krasnoyarsk Mathematical Center, which is financed by the Ministry of Science and Higher Education of the Russian Federation within the project for the establishment and development of regional centers for mathematical research and education (agreement no. 075-02-2020-1534/1).

Julianna Vladimirovna Bekker, doctoral student, Siberian Federal University, Krasnoyarsk, 660041 Russia, e-mail: angel220@bk.ru

Denis Vladimirovich Levchuk , Cand. Sci. (Phys.-Math.), Siberian Federal University, Krasnoyarsk, 660041 Russia, e-mail: Dlevchuk82@mail.ru

Elena Andreevna Sotnikova, graduate student, Siberian Federal University, Krasnoyarsk, 660041, Russia, e-mail: olgaRV520@yandex.ru

Cite this article as: Yu.V. Bekker, D.V. Levchuk, E.A. Sotnikova. Automorphisms of rings of nonfinitary niltriangular matrices, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki URO RAN, 2020, vol. 26, no. 3, pp. 7–13.

[References -> on the "English" button bottom right]