А.Р. Миротин. О связях между функциональными исчислениями Бохнера — Филлипса и Хилле — Филлипса ... С. 118-132

УДК 517.986.7:517.983.23

MSC: 47A60, 47D03

DOI: 10.21538/0134-4889-2020-26-3-118-132

Классическое функциональное исчисление Хилле — Филлипса генераторов $C_0$-полугрупп, изложенное в известной монографии этих авторов, имеет в качестве символов преобразования Лапласа мер и приводит к ограниченным операторам. Другое важное функциональноте исчисление генераторов полугрупп — исчисление Бохнера — Филлипса — использует в качестве символов функции Бернштейна. В работе дается расширение функционального исчисления Хилле — Филлипса, приводящее к неограниченным операторам. Указаны связи этого исчисления с исчислением Бохнера — Филлипса. В частности, для случая генераторов равномерно устойчивых полугрупп доказаны правило произведения и теорема о композиции понимаемых в разных смыслах функций. Получены условия обратимости операторов, возникающих в исчислении Бохнера — Филлипса. Рассмотрены примеры. Сформулированы нерешенные задачи.

Ключевые слова: функциональное исчисление Хилле — Филлипса, функциональное исчисление Бохнера — Филлипса, дробные степени операторов, подчиненная полугруппа

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Хилле Э., Филлипс Р. Функциональный анализ и полугруппы. М. : ИЛ, 1962. 829 с.

2.   Baeumer B., Haase M., Kovacs M. Unbounded functional calculus for bounded groups with applications // J. Evol. Equ. 2009. Vol. 9, no 1. P. 171–195.

3.   Martinez-Carracedo C., Santz-Alix M. The theory of fractional powers of operators. Amsterdam: North Holland, 2001. 378 p.

4.   Коркина Л.Ф., Рекант М.А. Свойства отображений скалярных функций в операторные линейного замкнутого оператора // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2015. Т. 21, № 1. С. 153–165.

5.   Коркина Л.Ф., Рекант М.А. Некоторые классы функций линейного замкнутого оператора // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2011. Т. 17, № 3. С. 186–200.

6.   Миротин А.Р. Об одном функциональном исчислении замкнутых операторов в банаховом пространстве. III. Некоторые вопросы теории возмущений // Изв. вузов. Математика. 2017. № 12. С. 24–34.

7.   Batty C.J.K., Gomilko A., Tomilov Yu. Product formulas in functional calculi for sectorial operators // Math. Z. 2015. Vol. 279. P. 479–507.

8.   Batty C.J.K., Gomilko A., Tomilov Yu. Resolvent representations for functions of sectorial operators // Advances in Mathematics. 2017. Vol. 308. P. 896–940.

9.   Миротин А.Р. О $\mathcal{T}$-исчислении генераторов $C_0$-полугрупп // Сибирский мат. журн. 1998. Т. 39, № 3. С. 571–583.

10.   Shilling R. L., Song R., Z. Vondrachek Z. Bernstein functions. Theory and applications. 2nd ed. Berlin; Boston: de Gruyter, 2012. 425 p.

11.   Gomilko A., Tomilov Yu. On subordination of holomorphic semigroups // Advances in Mathematics. 2015. Vol. 283. P. 155–194.

12.   Лопушанский О.В., Шарин С.В. Обобщенное функциональное исчисление типа Хилле — Филлипса для многопараметрических полугрупп // Сиб. мат. журн. 2014. Т. 55, № 1. С. 131–146.

13.   Mirotin A.R. On the connections of Hille–Phillips functional calculus with Bochner–Phillips functional calculus [e-resource]. 2019. 14 p. URL: https://arxiv.org/pdf/1912.12423.pdf .

14.   Като Т. Теория возмущений линейных операторов. Москва: Мир, 1972. 740 с.

15.   Миротин А.Р. Многомерное $\mathcal{T}$-исчисление генераторов $C_0$-полугрупп // Алгебра и анализ. 1999. Т. 11, № 2. С. 142–170.

16.   Widder D.V. The Laplase transform. Prinston, 1946. 412 p.

17.   Миротин А.Р. Об отображении совместного спектра набора генераторов полугрупп // Функциональный анализ и его приложения. 2012. Т. 46, № 3. С. 62–70.

18.   Nollau V.  Uber den Logarithmus abgeschlossener Operatoren in Banachschen Raumen // Acta Sci. Math. 1969. Vol. 30. P. 161–174.

19.   Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований. Т. 1. Преобразования Фурье, Лапласа, Меллина. Москва: Наука, 1969. 344 p.

20.   Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Москва: Наука, 1981. 800 с.

21.   Брычков Ю.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования обобщенных функций. Москва: Наука, 1977. 288 с.

Поступила 30.05.2020

После доработки 23.06.2020

Принята к публикации 20.07.2020

Миротин Адольф Рувимович
д-р физ.-мат. наук, профессор
зав. кафедрой
Гомельский государственный университет им. Ф. Скорины
г. Гомель
e-mail: amirotin@yandex.ru

Ссылка на статью: А.Р. Миротин. О связях между функциональными исчислениями Бохнера — Филлипса и Хилле — Филлипса // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2020. Т. 26, № 3. С. 118-132

English

A.R. Mirotin. On connections between the Bochner–Phillips and Hille–Phillips functional calculi

The classical Hille–Phillips functional calculus of generators of $C_0$-semigroups, presented in the well-known monograph of these authors, uses Laplace transforms of measures as symbols and leads to bounded operators. Another important functional calculus of semigroup generators — the Bochner–Phillips calculus — uses Bernstein functions as symbols. In this work, an extension of the Hille–Phillips functional calculus is considered that leads to unbounded operators. Connections of this calculus with the Bochner–Phillips functional calculus are indicated. In particular, for generators of uniformly stable semigroups, the multiplication rule and the composition theorem are proved for functions understood in different senses. Conditions for the invertibility of operators that arise in the Bochner–Phillips calculus are obtained. Several examples are given and unsolved problems are formulated.

Keywords: Hille–Phillips functional calculus, Bochner–Phillips functional calculus, fractional powers of operators, subordinate semigroup

Received May 30, 2020

Revised June 23, 2020

Accepted July 20, 2020

Adolf Ruvimovich Mirotin, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Francisk Skorina Gomel State University, Gomel, 246019 Belarus, e-mail: amirotin@yandex.ru

Cite this article as: A.R. Mirotin. On connections between the Bochner–Phillips and Hille–Phillips functional calculi, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki URO RAN, 2020, vol. 26, no. 3, pp. 118–132.

[References -> on the "English" button bottom right]