Х.А. Хачатрян, А.С. Петросян. О построении суммируемого решения одного класса нелинейных интегральных уравнений типа Гаммерштейна - Немыцкого на всей прямой ... С. 278-287

УДК 517.968.4

MSC: 45G05

DOI: 10.21538/0134-4889-2020-26-2-278-287

Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект № 19-11-00223).

Исследуется класс нелинейных интегральных уравнений типа свертки с оператором Гаммерштейна — Немыцкого на всей прямой. Указанный класс уравнений имеет непосредственное применение в кинетической теории газов, в теории p-адических открыто-замкнутых струн и в теории переноса излучения. Доказывается конструктивная теорема существования нетривиального неотрицательного ограниченного и суммируемого на всей прямой решения. В конце приводятся конкретные примеры таких уравнений, для которых выполняются все условия основной теоремы.

Ключевые слова: уравнения Гаммерштейна — Немыцкого, последовательные приближения, монотонность, выпуклость, сходимость итерации.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Cercignani C. The Boltzmann equation and its application. N Y: Springer, 1988. 455 p.
doi: 10.1007/978-1-4612-1039-9 .

2.   Зельдович Я.Б., Райзер Ю.П. Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений. М.: Наука, 1966. 687 c.

3.   Владимиров В.С., Волович Я.И. О нелинейном уравнении динамики в теории p-адической струны // Теоретическая и математическая физика. 2004. Т. 138, №3. С. 355-368.

4.   Хачатрян Х.А. О разрешимости некоторых классов нелинейных интегральных уравнений в теории p-адической струны // Изв. РАН. Cер. математическая. 2018. Т. 82, №2. С. 172–193.

5.   Хачатрян Х.А. О решении одной системы нелинейных интегральных уравнений типа Гаммерштейна — Немыцкого на всей оси // Тр. Ин-та математики НАН Беларуси. 2013. Т. 21, №2. C. 154–161.

6.    Хачатрян Х.А. О положительной разрешимости некоторых классов нелинейных интегральных уравнений типа Гаммерштейна на полуоси и на всей прямой // Изв. РАН. Сер. математическая. 2015. Т. 79, №2. C. 205–224.

7.   Енгибарян Н.Б. Об одной задаче нелинейного переноса излучения // Астрофизика. 1966. Т. 2, № 1. С. 31–36.

8.   Хачатрян Х.А. О положительных решениях одного класса нелинейных интегральных уравнений типа Гаммерштейна — Немыцкого на всей прямой // Тр. Моск. мат. общества. 2014. Т. 75, №1. С. 1–14.

9.   Diekmann O. Thresholds and travelling waves for the geographical spread of infection // J. Math. Biology. 1978. Vol. 6, no. 2. P. 109—130.

10.   Владимиров В.С. О нелинейных уравнениях p-адических открытых, замкнутых и открыто-замкнутых струн // Теоретическая и математическая физика. 2006. Vol. 149, № 3. P. 354—367. doi: 10.4213/tmf5522 .

11.   Gomez C., Prado H. Trofimchuk S. Separation dichotomy and wavefronts for a nonlinear convolution equation // J. Math. Anal. Appl. 2014. Vol. 420. P. 1—19. doi: 10.1016/j.jmaa.2014.05.064 .

12.   Жуковская Л.В. Итерационный метод решения нелинейных интегральных уравнений, описывающих роллинговые решения в теории струн // Теоретическая и математическая физика. 2006. Vol. 146, № 3. P. 402–409. doi: 10.4213/tmf2043 .

13.   Хачатрян Х.А. О разрешимости одной граничной задачи в p-адической теории струн // Тр. Моск. мат. общества. 2018. Т. 79, №1. С. 117-132.

14.   Колмогоров А.Н., Фомин В.С. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Физматлит, 2004. 572 c.

15.   Рудин У. Функциональный анализ. М.: Мир, 1975. 499 с.

Поступила 18.11.2019

После доработки 22.01.2020

Принята к публикации 27.01.2020

Хачатрян Хачатур Агавардович
д-р физ.-мат. наук наук, профессор
ведущий науч. сотрудник 
Институт математики НАН Армении,
г. Ереван;
Московский государственный университет им. М.В.Ломоносова, мех. мат. фак.,
г. Москва
e-mail: Khach82@rambler.ru

Петросян Айкануш Самвеловна
канд. физ.-мат. наук
доцент кафедры высшей математики и физики
Национальный аграрный университет Армении,
г. Ереван
Московский государственный университет им. М.В.Ломоносова, мех. мат. фак.,
г. Москва
e-mail: Haykuhi25@mail.ru

Kh. A. Khachatryan, H. S. Petrosyan. On the construction of an integrable solution to one class of nonlinear integral equations of Hammerstein–Nemytskii type on the whole axis.

We study one class of nonlinear integral equations of convolution type with the Hammerstein–Nemytskii operator on the whole axis. This class has direct applications in the kinetic theory of gases, the theory of p-adic open-closed strings, and the theory of radiative transfer. We prove a constructive theorem on the existence of a nontrivial nonnegative solution integrable on the whole axis. In the end of the paper, we give specific examples of such equations satisfying all conditions of the main theorem.

Keywords: Hammerstein–Nemytskii equations, successive approximations, monotonicity, convexity, convergence of iterations.

REFERENCES

1.   Cercignani C. The Boltzmann equation and its applications. N Y: Springer, 1988. 455 p.
doi: 10.1007/978-1-4612-1039-9 .

2.   Zel’dovich Ya.B., Raizer Yu.P. Physics of shock waves and high-temperature hydrodynamic phenomena. Mineola: Dover, 2002, 916 p. ISBN: 9780486420028 . Original Russian text published in Zel’dovich Ya.B., Raizer Yu.P. Fizika udarnykh voln i vysokotemperaturnykh gidrodinamicheskikh yavlenii. Moscow: Nauka Publ., 1966.

3.   Vladimirov V.S., Volovich Ya.I. Nonlinear dynamics equation in p-adic string theory. Theoretical and Mathematical Physics, 2004, vol. 138, no. 3, pp. 297–309. doi: 10.1023/B:TAMP.0000018447.02723.29 .

4.   Khachatryan Kh.A. On the solvability of certain classes of non-linear integral equations in p-adic string theory. Izv. Math., 2018, vol. 82, no. 2, pp. 407–427. doi: 10.1070/IM8580 .

5.   Engibaryan N.B. On a problem in non-linear radiative transfer. Astrophysics, 1966, vol. 2, no. 1, pp. 12–14. doi: 10.1007/BF01014505 .

6.   Khachatryan Kh.A. On positive solutions of one class of nonlinear integral equations of Hammerstein–Nemytskii type on the whole axis. Trans. Moscow Math. Soc., 2014, vol. 75, no. 1, pp. 1–12. doi: 10.1090/S0077-1554-2014-00226-0 .

7.   Khachatryan Kh.A. Positive solubility of some classes of non-linear integral equations of Hammerstein type on the semi-axis and on the whole line. Izv. Math., 2015, vol. 79, no. 2, pp. 411–430. doi: 10.1070/IM2015v079n02ABEH002748 .

8.   Khachatryan Kh.A. On solution of a system of Hammerstein–Nemytskii type non-linear integral equations on whole axis. Tr. Inst. Mat., 2013, vol. 21, no. 2, pp. 154–161 (in Russian).

9.   Diekmann O. Thresholds and travelling waves for the geographical spread of infection. J. Math. Biology, 1978, vol. 6, no. 2, pp. 109—130.

10.   Vladimirov V.S. Nonlinear equations for p-adic open, closed and open–closed strings. Theoret. and Mathem. Physics, 2006, vol. 149, no. 3, pp. 1604–1616. doi: 10.1007/s11232-006-0144-z .

11.   Gomez C., Prado H., Trofimchuk S. Separation dichotomy and wavefronts for a nonlinear convolution equation. J. Math. Anal. Appl., 2014, vol. 420, pp. 1—19. doi: 10.1016/j.jmaa.2014.05.064 .

12.   Zhukovskaya L.V. Iterative method for solving nonlinear integral equations describing rolling solutions in string theory. Theoret. and Math. Phys., 2006, vol. 146, no. 3, pp. 335–342. doi: 10.1007/s11232-006-0043-3 .

13.   Khachatryan Kh.A. On the solvability of a boundary-value problem in p-adic string theory. Trans. Moscow Math. Soc., 2018, pp. 101–115.

14.   Kolmogorov A.N., Fomin S.V. Elements of the theory of functions and functional analysis (Two volumes in one, translated from the first Russian edition 1957–1961). United States: Martino Fine Books. 2012, 280 p. ISBN: 1614273049 . The 7th edition of Russian text published in Kolmogorov A.N., Fomin S.V. Elementy teorii funktsii i funktsional’nogo analiza. Moscow: Nauka Publ., 2004, 572 p.

15.   Rudin W. Functional Analysis. N Y: McGraw-Hill, 1973, 397 p. ISBN: 978-0070542259 . Translated to Russian under the title Funktsional’nyi analiz. Moscow: Mir Publ., 1975, 499 p.

Received November 18, 2019

Revised January 22, 2020

Accepted January 27, 2020

Funding Agency: The study was funded by a grant from the Russian Science Foundation (project № 19-11-00223).

Khachatur Aghavardovich Khachatryan, Dr. Phys.-Math. Sci., Institute of Mathematics, National Academy of Sciences of Armenia, 0019, Yerevan, Republic of Armenia; Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Moscow, 119991 Russia,
e-mail: Khach82@rambler.ru.

Haykanush Samvelovna Petrosyan, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Armenian National Agrarian University, 0009, Yerevan, Republic of Armenia; Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Moscow, 119991 Russia, e-mail: Haykuhi25@mail.ru.

Cite this article as: Kh.A.Khachatryan, H.S.Petrosyan. On the construction of an integrable solution to one class of nonlinear integral equations of Hammerstein–Nemytskii type on the whole axis. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki URO RAN, 2020, vol. 26, no. 2, pp. 278–287.

[References -> on the "English" button bottom right]