С.И. Новиков, В.Т. Шевалдин. О связи между второй разделенной разностью и второй производной ...C. 216-224

УДК 519.65

MSC: 41A15

DOI: 10.21538/0134-4889-2020-26-2-216-224

В работе сформулирована общая задача экстремальной функциональной интерполяции (для конечных разностей это задача Яненко - Стечкина - Субботина) действительных функций, имеющих почти всюду $n$-ю производную на оси $\mathbf R$. Требуется найти наименьшее значение этой производной в равномерной норме на классе функций, интерполирующих любую заданную последовательность $y=\{y_k\}_{k=-\infty}^{\infty}$ действительных чисел на произвольной, бесконечной в обе стороны сетке узлов $\Delta=\{x_k\}_{k=-\infty}^{\infty}$ для класса последовательностей $Y$, у которых все разделенные разности $n$-го порядка на такой сетке узлов ограничены сверху по модулю фиксированным положительным числом. В данной работе эта задача решается в случае $n=2$. Для величины второй производной по схеме Ю.Н. Субботина получены оценки снизу и сверху, которые совпадают между собой для геометрической сетки узлов вида $\Delta_p=\{p^kh\}_{k=\infty}^{\infty}\ (h>0,\ p\ge 1)$. Оценки получены в терминах отношений соседних шагов сетки и интерполируемых значений.

Ключевые слова: интерполяция, разделенная разность, сплайны, производные.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Гельфонд А.О. Исчисление конечных разностей. М.: Наука, 1967. 376 с.

2.   Субботин Ю.Н. О связи между конечными разностями и соответствующими производными // Тр. МИАН СССР. 1965. Т. 78. С. 24–42.

3.   Субботин Ю.Н. Функциональная интерполяция в среднем с наименьшей n-й производной // Тр. МИАН СССР. 1967. Т. 88. С. 30–60.

4.   Субботин Ю.Н. Экстремальные задачи функциональной интерполяции и интерполяционные в среднем сплайны // Тр. МИАН СССР. 1975. Т. 138. С. 118–173.

5.   Kunkle Th. Favard’s interpolation problem in one or more variables // Constructive Approxim. 2002. Vol. 18. P. 467–478. doi:10.1007/s00365-001-0015-7 .

Поступила 25.03.2020

После доработки 5.05.2020

Принята к публикации 11.05.2020

Новиков Сергей Игоревич
канд. физ.-мат. наук, старший науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н.Красовского УрО РАН
г. Екатеринбург
e-mail: Sergey.Novikov@imm.uran.ru

Шевалдин Валерий Трифонович
д-р физ.-мат. наук, ведущий науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н.Красовского УрО РАН
г. Екатеринбург
e-mail: Valerii.Shevaldin@imm.uran.ru

Ссылка на статью: С.И. Новиков, В.Т. Шевалдин. О связи между второй разделенной разностью и второй производной // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2020. Т.26, № 2. C. 216-224

English

S.I. Novikov, V.T. Shevaldin. On the connection between the second divided difference and the second derivative

We formulate the general problem of the extremal interpolation of real-valued functions with the $n$th derivative defined almost everywhere on the axis $\mathbf R$ (for finite differences, this is the Yanenko--Stechkin--Subbotin problem). It is required to find the smallest value of this derivative in the uniform norm on the class of functions interpolating any given sequence $y=\{y_k\}_{k=-\infty}^{\infty}$ of real numbers on an arbitrary, infinite in both directions node grid $\Delta=\{x_k\}_{k=-\infty}^{\infty}$ for a class of sequences $Y$ such that the moduli of their $n$th-order divided differences on this node grid are upper bounded by a fixed positive number. We solve this problem in the case $n=2$. For the value of the second derivative according to Yu.N. Subbotin's scheme, we derive upper and lower estimates, which coincide for a geometric node grid of the form $\Delta_p=\{p^kh\}_{k=-\infty}^{\infty}$ ($h>0$, $p\ge 1$). The estimates are derived in terms of the ratios of neighboring steps of the gird and interpolated values.

Keywords: interpolation, divided difference, splines, derivatives.

Received March 25, 2020

Revised May 5, 2020

Accepted May 11, 2020

Sergey Igorevich Novikov, Cand. Phys.-Math. Sci., Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia,
e-mail: Sergey.Novikov@imm.uran.ru.

Valerii Trifonovich Shevaldin, Dr.Phys.-Math. Sci., Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia,
e-mail: Valerii.Shevaldin@imm.uran.ru.

Cite this article as: S.I.Novikov, V.T.Shevaldin. On the connection between the second divided difference and the second derivative. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki URO RAN, 2020, vol. 26, no. 2, pp. 216–224.

[References -> on the "English" button bottom right]