В.В. Напалков, В.В. Напалков (мл.). Об эквивалентности гильбертовых пространств с воспроизводящим ядром, связанных специальным преобразованием ... С. 200-215

УДК 517.444

MSC: 46E22, 47B32, 30H05, 32A38

DOI: 10.21538/0134-4889-2020-26-2-200-215

Рассматриваются два гильбертовых пространства $H_1$ и $H_2$  с воспроизводящим ядром, состоящие из комплекснозначных функций, заданных на некоторых множествах точек  $\Omega_1\subset {\mathbb C}^n,\,\Omega_2\subset {\mathbb C}^m$ соответственно. Нормы в пространствах $H_1$ и $H_2$  имеют интегральный вид
\begin{align*}
\|f\|_{H_1}^2=\int_{\Omega_1}|f(t)|^2\,d\mu_1(t), \ \  f\in H_1,\qquad
\|q\|_{H_2}^2=\int_{\Omega_2}|q(z)|^2\,d\mu_2(z), \ \  q\in H_2.
\end{align*}
Пусть $\{E(\cdot,z)\}_{z\in \Omega_2}$ - некоторая полная система функций в пространстве $H_1$. Обозначим
\begin{align*}
\widetilde f(z)\stackrel{def}{=}(E(\cdot, z), f)_{H_1} \ \ \forall z\in \Omega_2,\quad \widetilde H_1=\{\widetilde f,\, f\in H_1\},
\\ (\widetilde f_1,\widetilde f_2)_{\widetilde H_1}\stackrel{def}{=}(f_2,f_1)_{H_1}, \quad
\|\widetilde f_1\|_{\widetilde H_1}=\|f_1\|_{H_1} \ \ \forall \widetilde  f_1,\widetilde f_2\in \widetilde H_1.
\end{align*}
В статье доказано, что гильбертовы пространства $\widetilde H_1$ и $H_2$ эквивалентны (т.е.   эти пространства состоят из одних и тех же  функций, и нормы    этих пространств эквивалентны) тогда и только тогда, когда существует  линейный непрерывный взаимно-однозначный   оператор ${\mathcal A}$, действующий из пространства $\overline H_1$ на пространство $H_2$, который для любого $\xi\in \Omega_1$ переводит функцию  $K_{\overline H_1}(\cdot,\xi)$  в функцию $E(\xi,\cdot)$. Здесь $\overline H_1$ - пространство, состоящее из функций,  комплексно-сопряженных к функциям из $H_1$, $K_{\overline H_1}(t,\xi),\, t,\xi\in \Omega_1$ - воспроизводящее ядро пространства $\overline H_1$.  Получены и другие условия эквивалентности пространств $\widetilde H_1$ и $H_2$. Также  в статье изучаются вопрос  эквивалентности пространств $\check H_2$ и $H_1$, и,  кроме того, вопрос существования в пространствах $H_1$  и $H_2$ специальных ортоподобных систем разложения. Получено необходимое и достаточное  условие, при выполнении которого  пространства $H_1$ и $H_2$ эквивалентны. Эта работа является продолжением статьи авторов, в которой рассматривался случай совпадения пространств $\widetilde H_1$ и $H_2$.

Ключевые слова:  системы разложения, подобные ортогональным, гильбертово пространство с воспроизводящим ядром, задача описания сопряженного пространства

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Aronszajn N. Theory of reproducing kernels // Transactions of the AMS. 1950. Vol. 68, no. 3. P. 337–404. doi: 10.1090/S0002-9947-1950-0051437-7 

2.   Berlinet A., Thomas–Agnan C. Reproducing kernel Hilbert spaces in probability and statistics. N Y: Kluwer Acad. Publ., 2001. 355 p. doi: 10.1007/978-1-4419-9096-9 

3.   Bargmann V. On a Hilbert space of analytic functions and an associated integral transform // Comm. Pure Appl. Math. 1961. Vol. 1, no. 14. C. 187–214. doi: 10.1002/cpa.3160140303 

4.   Исаев К.П., Юлмухаметов Р.С. Преобразования Лапласа функционалов на пространствах Бергмана // Изв. РАН. Сер. математическая. 2004. Т. 68, № 1. C. 5–42.

5.   Напалков В.В. (мл.), Юлмухаметов Р.С. Весовые преобразования Фурье — Лапласа аналитических функционалов в круге // Мат. сб. 1992. Т. 183, № 11. C. 139–144.

6.   Напалков В.В. (мл.), Юлмухаметов Р.С. О преобразовании Гильберта в пространстве Бергмана // Мат. заметки. 2001. Т. 70, № 1. C. 68–78.

7.   Лукашенко  Т.П. О свойствах систем разложения подобных ортогональным // Изв. РАН. Сер. математическая. 1998. Т. 62, № 5. С. 187–206.

8.   Боголюбов Н.Н., Логунов А.А., Оксак А.И., Тодоров И.Т. Общие принципы квантовой теории поля. М.: Наука, 1977. 616 с.

9.    Напалков В.В. (мл.) Ортоподобные системы разложения в пространствах с воспроизводящим ядром // Уфим. мат. журн. 2013. Т. 5, № 4. C. 91–104.

10.   Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. Общая теория. Москва: ИЛ, 1962. 896 с.

11.   Рисс Ф., Сёкефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. Москва: Мир. 1979. 588 с.

12.   Напалков В.В., Напалков В.В. (мл.) Об изоморфизме гильбертовых пространств с воспроизводящим ядром // Докл. АН. 2017. Т. 474, № 6. C. 665–667.

Поступила 5.02.2020

После доработки 13.05.2020

Принята к публикации 18.05.2020

Напалков Валентин Васильевич
д-р физ.-мат. наук, профессор
чл.-корр. РАН, главный науч. сотрудник
Институт математики c ВЦ УФИЦ РАН, г. Уфа
e-mail: vnap@matem.anrb.ru

Напалков Валерий Валентинович
канд. физ.-мат. наук, старший науч. сотрудник
Институт математики c ВЦ УФИЦ РАН, г. Уфа
e-mail: vnap@mail.ru

Ссылка на статью: В.В. Напалков, В.В. Напалков (мл.). Об эквивалентности гильбертовых пространств с воспроизводящим ядром, связанных специальным преобразованием // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2020. Т.26, № 2. С. 200-215

English

 V.V. Napalkov, V.V. Napalkov,  Jr.  On the equivalence of reproducing kernel Hilbert spaces connected by a special transform

We consider two reproducing kernel Hilbert spaces $H_1$ and $H_2$ consisting of complex-valued functions defined on some sets of points $\Omega_1\subset {\mathbb C}^n$ and $\Omega_2\subset {\mathbb C}^m$, respectively. The norms in the spaces $H_1$ and $H_2$ have an integral form:
\begin{align*}
\|f\|_{H_1}^2=\int_{\Omega_1}|f(t)|^2\,d\mu_1(t), \ \ f\in H_1,\qquad \|q\|_{H_2}^2=\int_{\Omega_2}|q(z)|^2\,d\mu_2(z), \ \ q\in H_2.
\end{align*}
Let $\{E (\cdot, z)\}_{z\in \Omega_2}$ be some complete system of functions in the space $H_1$. Define
\begin{align*}
\widetilde f(z)\stackrel{def}{=}(E(\cdot, z), f)_{H_1} \ \ \forall z\in \Omega_2,\quad \widetilde H_1=\{\widetilde f,\, f\in H_1\}, \\ (\widetilde f_1,\widetilde f_2)_{\widetilde H_1}\stackrel{def}{=}(f_2,f_1)_{H_1}, \quad \|\widetilde f_1\|_{\widetilde H_1}=\|f_1\|_{H_1} \ \ \forall \widetilde f_1,\widetilde f_2\in \widetilde H_1.
\end{align*}
We prove that the Hilbert spaces $\widetilde H_1$ and $H_2$ are equivalent (i.e., consist of the same functions and have equivalent norms) if and only if there exists a linear continuous one-to-one operator ${\cal A}$ acting from the space $\overline H_1$ onto the space $H_2$ that for any $\xi\in \Omega_1$ takes the function $K_{\overline H_1}(\cdot,\xi)$ to the function $E(\xi,\cdot)$, where $\overline H_1$ is the space consisting of functions that are complex conjugate to functions from $H_1$ and $K_{\overline H_1}(t,\xi)$, $t,\xi\in \Omega_1$, is the reproducing kernel of $\overline H_1$. We also obtain other conditions for the equivalence of the spaces $\widetilde H_1$ and $H_2$. In addition, we study the question of the equivalence of the spaces $\check H_2$ and $H_1$ and the question of the existence of special orthosimilar expansion systems in the spaces $H_1$ and $H_2$. We derive a necessary and sufficient condition for the equivalence of the spaces $H_1$ and $H_2$. This paper continues the authors' paper in which the case of coinciding spaces $\widetilde H_1$ and $H_2$ was considered.

Keywords: orthosimilar decomposition systems, reproducing kernel Hilbert space, problem of describing the dual  space

Received February 5, 2020

Revised May 13, 2020

Accepted May 18, 2020

Valentin Vasilievich Napalkov. Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Corresponding Member of RAS, Institute of Mathematics, Ufa Federal Research Centre, RAS, Ufa, 450077 Russia, e-mail: napalkov@matem.anrb.ru

Valerii Valentinovich Napalkov. Cand. Sci. (Phys.-Math.), Institute of Mathematics, Ufa Federal Research Centre, RAS, Ufa, 450077 Russia, e-mail: vnap@mail.ru

Cite this article as: V.V. Napalkov, V.V. Napalkov, Jr.  On the equivalence of reproducing kernel Hilbert spaces connected by a special transform. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki URO RAN, 2020, vol. 26, no. 2, pp. 200–215.

[References -> on the "English" button bottom right]