В.Л. Литвинов. Решение краевых задач с движущимися границами при помощи приближенного метода построения решений интегро-дифференциальных уравнений ... С. 188-199

УДК 534.11

MSC: 74H45, 74K05

DOI: 10.21538/0134-4889-2020-26-2-188-199

Задача о колебаниях объектов с движущимися границами, сформулированная в виде дифференциального уравнения с граничными и начальными условиями, является неклассическим обобщением задачи гиперболического типа. Для облегчения построения решения этой задачи и обоснования выбора формы решения строятся эквивалентные интегро-дифференциальные уравнения с симметричными и зависящими от времени ядрами и изменяющимися во времени пределами интегрирования. Преимущества метода интегро-дифференциальных уравнений обнаруживаются при переходе к более сложным динамическим системам, несущим сосредоточенные массы, колеблющиеся под действием подвижных нагрузок. Метод распространен на более широкий класс модельных краевых задач, учитывающих изгибную жесткость, сопротивление внешней среды и жесткость основания колеблющегося объекта. Особое внимание уделено рассмотрению наиболее распространенного на практике случая, когда внешние возмущения действуют на границах. Решение производится в безразмерных переменных с точностью до величин второго порядка малости относительно малых параметров, характеризующих скорость движения границы. Находится приближенное решение задачи о поперечных колебаниях каната грузоподъемной установки, обладающего изгибной жесткостью, один конец которого наматывается на барабан, а на втором закреплен груз. Приводятся результаты, полученные для амплитуды колебаний, соответствующих n-й динамической моде. Исследуется явление установившегося резонанса и прохождения через резонанс с применением численных методов.

Ключевые слова: резонансные свойства, колебания систем с движущимися границами, законы движения границ, интегро-дифференциальные уравнения, амплитуда колебаний

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Колосов Л.B., Жигула Т.И. Продольно–поперечные колебания струны каната подъемной установки // Изв. вузов. Горный журнал. 1981. No. 3. С. 83–86.

2.   Zhu W.D., Chen Y. Theoretical and experimental investigation of elevator cable dynamics and control // J. Vibr. Acoust. 2006. Vol. 128, no. 1. P. 66–78. doi: 10.1115/1.2128640 

3.   Shi Y., Wu. L., Wang Y. Нелинейный анализ собственных частот тросовой системы // J. Vibr. Eng. 2006. Vol. 19, no. 2. P.173–178.

4.   Горошко О.А., Савин Г.Н. Введение в механику деформируемых одномерных тел переменной длины. Киев: Наук. думка, 1971. 290 с.

5.   Литвинов В.Л., Анисимов В.Н. Поперечные колебания каната, движущегося в продольном направлении // Изв. Самар. науч. центра Российской академии наук. 2017. Т. 19, № 4. С. 161–165.

6.   Савин Г.Н., Горошко О.А. Динамика нити переменной длины. Киев: Наук. думка, 1962. 332 с.

7.   Liu Z., Chen G. Анализ плоских нелинейных свободных колебаний несущего каната с учетом влияния изгибной жесткости // J. Vibr. Eng. 2007. № 1. С. 57–60.

8.   Palm J. et al. Simulation of mooring cable dynamics using a discontinuous Galerkin method // V Internat. Conf. on Computational Methods in Marine Engineering. 2013. P. 455–466. ISBN: 978-84-941407-4-7 .

9.   Литвинов В.Л. Исследование свободных колебаний механических объектов с движущимися границами при помощи асимптотического метода // Журн. Средневолж. мат. общества. 2014. Т. 16, № 1. С. 83–88.

10.   Литвинов В.Л., Анисимов В.Н. Математическое моделирование и исследование колебаний одномерных механических систем с движущимися границами: монография. Самара: Самар. гос. техн. ун-т, 2017. 149 с.

11.   Лежнева А.А. Свободные изгибные колебания балки переменной длины // Ученые записки. Пермь: Изд-во Перм. ун-та. 1966. № 156. С. 143–150.

12.   Wang L., Zhao Y. Multiple internal resonances and non–planar dynamics of shallow suspended cables to the harmonic excitations // J. Sound Vibr. 2009. Vol. 319, no. 1-2. P. 1–14. doi: 10.1016/j.jsv.2008.08.020 

13.   Zhao Y., Wang L. On the symmetric modal interaction of the suspended cable: three–to one internal resonance // J. Sound Vibr. 2006. Vol. 294, no. 4-5. P. 1073–1093. doi: 10.1016/j.jsv.2006.01.004 

14.   Литвинов В.Л., Анисимов В.Н. Применение метода Канторовича — Галеркина для решения краевых задач с условиями на движущихся границах // Изв. Российской академии наук. Механика твердого тела. 2018. № 2. С. 70–77.

15.   Berlioz A., Lamarque C.–H.. A non–linear model for the dynamics of an inclined cable // J. of Sound and Vibration. 2005. Vol. 279, no. 3. P. 619–639. doi: 10.1016/j.jsv.2003.11.069 

16.   Sandilo S.H., van Horssen  W.T. On variable length induced vibrations of a vertical string // J. of Sound and Vibratio. 2014. Vol. 333, no. 11. P. 2432–2449. doi: 10.1016/j.jsv.2014.01.011 

17.   Zhang W., Tang Y. Global dynamics of the cable under combined parametrical and external excitations // Internat. J. of Non-Linear Mechanics. 2002. Vol. 37, no. 3. P. 505–526. doi: 10.1016/S0020-7462(01)00026-9 

18.   Faravelli L.,Fuggini C., Ubertini F. Toward a hybrid control solution for cable dynamics: Theoretical prediction and experimental validation // Struct. Control Health Monit. 2010. Vol. 17, no. 4. P. 386–403. doi: 10.1002/stc.313 

19.   Весницкий А.И. Волны в системах с движущимися границами и нагрузками. М.: Физматлит, 2001. 320 с.

20.   Анисимов В.Н., Литвинов В.Л., Корпен И.В. Об одном методе получения аналитического решения волнового уравнения, описывающего колебания систем с движущимися границами // Вестн. Самар. гос. техн. ун-та. Сер. “Физико-мат. науки”. 2012. Вып. 3(28). С. 145–151. doi: 10.14498/vsgtu1079 

21.   Весницкий А.И. Обратная задача для одномерного резонатора, изменяющего во времени свои размеры // Изв. вузов. Радиофизика. 1971. № 10. С. 1538–1542.

22.   Барсуков К.А., Григорян Г.А. К теории волновода с подвижными границами // Изв. вузов. Радиофизика. 1976. № 2. С. 280–285.

Поступила 10.03.2020

После доработки 11.05.2020

Принята к публикации 18.05.2020

Владислав Львович Литвинов
канд. техн. наук
доцент
заведующий кафедрой общетеоретических дисциплин
Сызранский филиал Самарского государственного технического университета
г. Сызрань;
докторант мех.-мат. факультета МГУ им. М.В.Ломоносова
г. Москва
e-mail: vladlitvinov@rambler.ru

Ссылка на статью: В.Л. Литвинов. Решение краевых задач с движущимися границами при помощи приближенного метода построения решений интегро-дифференциальных уравнений // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2020. Т. 26, № 2. С. 188-199

English

V.L. Litvinov. Solution of boundary value problems with moving boundaries by an approximate method for constructing solutions of integro-differential equations

The problem of oscillations of objects with moving boundaries formulated as a differential equation with boundary and initial conditions is a nonclassical generalization of the hyperbolic type problem. To facilitate the construction of a solution to this problem and justify the choice of the solution form, we construct equivalent integro-differential equations with symmetric time-dependent kernels and time-varying integration limits. The advantages of the method of integro-differential equations are found in the transition to more complex dynamic systems that carry concentrated masses oscillating under mobile loads. The method is extended to a broader class of model boundary value problems that take into account the bending stiffness, environmental resistance, and stiffness of the base of the oscillating object. Special attention is paid to the analysis of the most common applied case when the boundaries are subject to external perturbations. The problem is solved in dimensionless variables up to the values of the second order of smallness relative to the small parameters that characterize the speed of the boundary movement. We find an approximate solution of a problem on transverse vibrations of a rope with bending stiffness in a lifting device; one end of the rope is wound on a drum and the other is fixed to a load. The results obtained for the oscillation amplitude corresponding to the nth dynamic mode are presented. The phenomena of steady-state resonance and passage through the resonance are studied by numerical methods.

Keywords: resonance properties, oscillations in systems with moving boundaries, laws of motion of the boundaries, integro-differential equations, amplitude of oscillations

Received March 10, 2020

Revised  May 11, 2020

Accepted  May 18, 2020

Vladislav L’vovich Litvinov, Cand. Sci. (Tech.), Syzran Branch of Samara State Technical University, Syzran, 446001 Russia; Lomonosov Moscow State University, Moscow, 119991 Russia,
e-mail: vladlitvinov@rambler.ru

Cite this article as: V.L. Litvinov. Solution of boundary value problems with moving boundaries by an approximate method for constructing solutions of integro-differential equations. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki URO RAN, 2020, vol. 26, no. 2, pp. 188–199.

[References -> on the "English" button bottom right]