М.И. Гусев. Асимптотическое поведение множеств достижимости нелинейных систем с изопериметрическими ограничениями на малых временных промежутках ... C. 89-101

УДК 517.977.1

MSC: 93B03

DOI: 10.21538/0134-4889-2020-26-1-89-101

В данной работе изучается задача приближенного описания множеств достижимости на малых временных промежутках для аффинных по управлению систем с изопериметрическими ограничениями на управление. Под изопериметрическим ограничением понимается интегральное ограничение типа неравенства с подынтегральной функцией, зависящей от управляющих параметров и фазовых переменных системы. Ранее подобная задача рассматривалась в предположении, что подынтегральная функция зависит только от управляющих параметров, относительно которых является положительно определенной квадратичной формой. В этом случае было показано, что при дополнительных предположениях об асимптотике грамиана управляемости линеаризованной системы, такое множество достижимости оказывается выпуклым и асимптотически близким по форме к эллипсоиду в пространстве состояний при достаточно малой длине промежутка времени. Данный эллипсоид представляет собой множество достижимости линеаризованной вдоль траектории, отвечающей нулевому управлению, системы. В настоящей работе доказывается, что при небольшом усилении условий, накладываемых на грамиан управляемости, данный результат остается справедливым, если подынтегральная функция, задающая изопериметрическое ограничения, имеет вид суммы положительно определенной квадратичной формы от управляющих параметров и неотрицательной функции фазовых переменных. Данное асимптотическое представление имеет место, в частности, для достаточно широкого класса аффинных по управлению систем второго порядка при условии полной управляемости линеаризованной системы. Доказательство опирается на результаты теории сильно выпуклых множеств и функций.

Ключевые слова: управляемая система, изопериметрические ограничения, множество достижимости, асимптотика, грамиан управляемости

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Куржанский А.Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. М.: Наука, 1977. 392 с.

2.   Kurzhanski A.B., Varaiya P. Dynamics and control of trajectory tubes. Theory and computation. Boston: Birkhauser, 2014. 445 с.

3.   Kurzhanski A.B., Valyi I. Ellipsoidal calculus for estimation and control. Boston: Birkhauser, 1997. 321 p.

4.   Черноусько Ф.Л. Оценивание фазового состояния динамических систем. М.: Наука, 1988. 319 c.

5.   Althoff M. Krogh B.H. Reachability analysis of nonlinear differential-algebraic systems // IEEE Trans. on Automatic Control. 2014. Vol. 59, iss. 2. P. 371–383. https://doi.org/10.1109/TAC.2013.2285751 

6.   Костоусова Е.К. Внешнее и внутреннее оценивание областей достижимости при помощи параллелотопов // Вычислительные технологии. 1998. Т. 3, № 2. C. 11–20.

7.   Lempio F., Veliov V.M. Discrete approximations of differential inclusions // Mitteilungen der GAMM. 1998. Vol. 21, no. 2. C. 101–135.

8.   Незнахин А. А., Ушаков В. Н. Сеточный метод приближенного построения ядра выживаемости для дифференциального включения // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2001. Т. 41, № 6. С. 895–908.

9.   Пацко В.С., Пятко С.Г., Федотов А.А. Трехмерное множество достижимости нелинейной управляемой системы // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2003. № 3. С. 8–16.

10.   Baier R., Gerdts M., Xausa I. Approximation of reachable sets using optimal control algorithms // Numerical Algebra, Control and Optimization. 2013. Vol. 3, no. 3. P. 519–548. https://doi.org/10.3934/naco.2013.3.519 

11.   Guseinov Kh.G., Nazlipinar A.S. Attainable sets of the control system with limited resources // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2010. Т. 16, № 5. С. 261–268.

12.   Guseinov K.G., Ozer O., Akyar E., Ushakov V.N. The approximation of reachable sets of control systems with integral constraint on controls // Nonlinear Differential Equations Appl. 2007. Vol. 14, no. 1-2. P. 57–73.

13.   Polyak B.T. Сonvexity of the reachable set of nonlinear systems under l2 bounded controls // Dynamics of Continuous, Discrete and Impulsive Systems Ser. A: Math. Analysis. 2004. Vol. 11, no. 2-3. P. 255–267.

14.   Райсиг Г. Выпуклость множеств достижимости систем управления // Автоматика и телемеханика. 2007. № 9. С. 64–78.

15.   Krener A., Schattler H. The structure of small-time reachable sets in low dimensions // SIAM J. Control Optim. 1989. Vol. 27, no. 1. P. 120–147. https://doi.org/10.1137/0327008 

16.   Schattler H. Small-time reachable sets and time-optimal feedback control // Nonsmooth Analysis and Geometric Methods in Deterministic Optimal Control / eds. B.S. Mordukhovich, H.J. Sussmann. N Y: Springer, 1996. P. 203–225. (The IMA Volumes in Mathematics and Its Applications.; vol. 78). https://doi.org/10.1007/978-1-4613-8489-2_9 .

17.   Goncharova E., Ovseevich A. Small-time reachable sets of linear systems with integral control constraints: birth of the shape of a reachable set // J. Optim. Theory Appl. 2016. Vol. 168, no. 2. P. 615–624. https: //doi.org/10.1007/s10957-015-0754-4 

18.   Gusev M.I., Osipov I.O. On convexity of small-time reachable sets of nonlinear control systems // AIP Conference Proceedings / M.D. Todorov. N Y, Melville: American Institute of Physics, 2019. Vol. 2164, iss. 1. Paper 060007. 9 p. https://doi.org/10.1063/1.5130809 

19.   Gusev M.I. On Convexity of reachable sets of a nonlinear system under integral constraints // IFAC-PapersOnLine. 2018. Vol. 51, no. 32. P. 207–212. https: //doi.org/10.1016/j.ifacol.2018.11.382 

20.   Gusev M.I. Estimates of the minimal eigenvalue of the controllability Gramian for a system containing a small parameter // Mathematical Optimization Theory and Operations Research: Proc. Internat. Conf. (MOTOR 2019). 2019. P. 461–473. (Lecture Notes in Computer Science; vol. 11548). https://doi.org/10.1007/978-3-030-22629-9_32

21.   Дмитрук А.В., Милютин А.А., Осмоловский Н.П. Теорема Люстерника и теория экстремума // Успехи мат. наук 1980. Т. 35, № 6. С. 11–46.

Поступила 24.12.2019

После доработки 7.02.2020

Принята к публикации 10.02.2020

Гусев Михаил Иванович
д-р физ.-мат. наук, ведущий науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН;
ведущий науч. сотрудник
Уральский федеральный университет
г. Екатеринбург
e-mail: gmi@imm.uran.ru

Ссылка на статью: М.И. Гусев. Асимптотическое поведение множеств достижимости нелинейных систем с изопериметрическими ограничениями на малых временных промежутках // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2019. Т.26, №1 C. 89-101

English

M.I. Gusev. Asymptotic behavior of small-time reachable sets of nonlinear systems with isoperimetric constraints

We study the problem of an approximate description of reachable sets over small time intervals for affine-control systems with isoperimetric control constraints. An isoperimetric constraint is understood as an integral constraint of inequality type with the integrand depending on the control parameters and state variables of the system. Previously, a similar problem was considered under the assumption that the integrand depends only on the control parameters and is a positive definite quadratic form in these parameters. In this case, it was shown that, under certain conditions imposed on the controllability Gramian of the linearized system, the reachable set is convex and asymptotically close in shape to an ellipsoid in the state space for a sufficiently small length of the time interval. This ellipsoid is the reachable set of the system linearized along the trajectory corresponding to the null control. In this paper, it is proved that, under a slight strengthening of the conditions imposed on the controllability Gramian, this result remains valid if the integrand defining the isoperimetric constraints has the form of the sum of a positive definite quadratic form in the control parameters and a nonnegative function of the state variables. This asymptotic representation holds, in particular, for a fairly wide class of second-order systems affine in the control under the condition that the linearized system is completely controllable. The proof is based on the results of the theory of strongly convex sets and functions.

Keywords: control system, isoperimetric constraints, reachable set, asymptotics, controllability Gramian

Received December 24, 2019

Revised February 7, 2020

Accepted February 10, 2020

Mikhail Ivanovich Gusev, Dr. Phys.-Math. Sci., Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia; Prof., Ural Federal University, Yekaterinburg, 620083 Russia, e-mail: gmi@imm.uran.ru

Cite this article as: M.I. Gusev. Asymptotic behavior of small-time reachable sets of nonlinear systems with isoperimetric constraints, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki URO RAN, 2020, vol. 26, no. 1, pp. 89–101.