Н.Л. Григоренко, Е.Н. Хайлов, Э.В. Григорьева, А.Д. Клименкова. Оптимальные стратегии лечения раковых заболеваний в математической модели конкуренции Лотки - Вольтерры ... C. 71-88

УДК 517.977.1

MSC: 49K15, 93A30

DOI: 10.21538/0134-4889-2020-26-1-71-88

Работа первых двух авторов выполнена при финансовой поддержке РФФИ и ДНТ в рамках научного проекта 18-51-45003 ИНД_a.

Для описания взаимодействия концентраций здоровых и раковых клеток при заболеваниях, связанных с раком крови, используется модель конкуренции Лотки — Вольтерры. В эту модель добавляется дифференциальное уравнение, описывающее изменение концентрации химиотерапевтического препарата. Это уравнение содержит скалярное ограниченное управление, которое задает интенсивность поступления такого препарата в организм. Для рассматриваемой управляемой системы ставится задача минимизации взвешенной разности концентраций раковых и здоровых клеток в конечный момент времени заданного периода лечения. С помощью принципа максимума Понтрягина аналитически устанавливаются свойства оптимального управления. Выделяются ситуации, когда такое управление является релейной функцией, а также ситуации, когда наряду с релейными участками оно может также содержать и участок с особым режимом. Полученные результаты подтверждаются соответствующими численными расчетами.

Ключевые слова: модель конкуренции Лотки — Вольтерры, нелинейная управляемая система, принцип максимума Понтрягина, функция переключений, релейное управление, особый режим

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Todorov Y., Fimmel E., Bratus A.S., Semenov Y.S., Nuernberg F. A optimal strategies for leukemia therapy: a multi-objective approach // Russ. J. Numer. Anal. Math. Model. 2011. Vol. 26, no. 6. P. 589–604. doi: 10.1515/rjnamm.2011.035 

2.   Bratus A.S., Fimmel E., Todorov Y., Semenov Y.S., Nurnberg F. On strategies on a mathematical model for leukemia therapy // Nonlinear Analysis: Real World Appl. 2012. Vol. 13, no. 3. P. 1044–1059. doi: 10.1016/j.nonrwa.2011.02.027 

3.   Bratus A.S., Goncharov A.S., Todorov I.T. Optimal control in a mathematical model for leukemia therapy with phase constraints // Moscow Univ. Comput. Math. Cybern. 2012. Vol. 36, no. 4. P. 178–182. doi: 10.3103/S0278641912040024 

4.   Bratus A., Todorov Y., Yegorov I., Yurchenko D. Solution of the feedback control problem in the mathematical model of leukemia therapy // J. Optim. Theory Appl. 2013. Vol. 159, no. 3. P. 590–605. doi: 10.1007/s10957-013-0324-6 

5.   Fimmel E., Semenov Y.S., Bratus A.S. On optimal and suboptimal treatment strategies for a mathematical model of leukemia // Math. Biosci. Eng. 2013. Vol. 10, no. 1. P. 151–165. doi: 10.3934/mbe.2013.10.151 

6.   Egorov I.E. Assessing alternative control strategies for systems with asymptotically stable equilibrium positions // Moscow Univ. Comput. Math. Cybern. 2013. Vol. 37, no. 3, P. 112–120. doi: 10.3103/S0278641913030059 

7.   Sole R.V., Deisboeck T.S. An error catastrophe in cancer? // J. Theor. Biol. 2004. Vol. 228. P. 47–54. doi 10.1016/j.jtbi.2003.08.018 

8.   Sole R.V., Garcia I.G., Costa J. Spatial dynamics in cancer // Complex Systems Science in Biomedicine / eds. T.S. Deisboeck, J.Y. Kresh. N Y: Springer, 2006. P. 557–572. (Topics in Biomedical Engineering International Book Series.) doi 10.1016/j.jtbi.2003.08.018 

9.   Кучумов А.Г. Математическое моделирование и биомеханический подход к описанию развития, диагностике и лечения онкологических заболеваний // Российский журнал биомеханики. 2010. Т. 14, № 4. С. 42–69.

10.   Khailov E.N., Klimenkova A.D., Korobeinikov A. Optimal control for anticancer therapy // Extended abstracts spring 2018 / eds. A. Korobeinikov, M. Caubergh, T. Lazaro, J. Sardanyes. Basel: Birkhauser, 2019. P. 35–43. (Trends in mathematics; vol. 11). doi: 10.1007/978-3-030-25261-8_6 

11.   Братусь А.С., Новожилов А.С., Платонов А.П. Динамические системы и модели биологии. М.: Физматлит, 2010. 400 c.

12.   Тарасевич Ю.Ю. Математическое и компьютерное моделирование. Вводный курс. М.: Либроком, 2013. 152 с.

13.   Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970. 720 c.

14.   Ли Э.Б., Маркус Л. Основы теории оптимального управления. М.: Наука, 1972. 576 c.

15.   Васильев Ф.П. Методы оптимизации. М.: Факториал Пресс, 2002. 824 c.

16.   Schattler H., Ledzewicz U. Geometric optimal control: theory, methods and examples. N Y; Heidelberg; Dordrecht; London: Springer, 2012. 640 p.

17.   Schattler H., Ledzewicz U. Optimal control for mathematical models of cancer therapies: an applications of geometric methods. N Y; Heidelberg; Dordrecht; London: Springer, 2015. 496 p. doi: 10.1007/978-1-4939-2972-6 

18.   Zelikin M.I., Borisov V.F. Theory of chattering control with applications to astronautics, robotics, economics, and engineering. Boston: Birkhauser, 1994. 244 p. doi: 10.1007/978-1-4612-2702-1 

19.   Левин А.Ю. Неосцилляция решений уравнения $x^{n}+p_{1}(t)x^{n-1}+\dots+p_{n}(t)x=0$ // Успехи мат. наук. 1969. Т. 24, вып. 2. С. 43–96.

20.   Зеликин М.И., Зеликина Л.Ф. Уклонение функционала от оптимального значения при четтеринге экспоненциально убывает с ростом числа переключений // Дифференц. уравнения. 1999. Т. 35, № 11. С. 1468–1472.

21.   Zhu J., Trelat E., Cerf M. Planar titling maneuver of a spacecraft: singular arcs in the minimum time problem and chattering // Discrete Cont. Dyn. Ser. B. 2016. Vol. 21, no. 4. P. 1347–1388. doi: 10.3934/dcdsb.2016.21.1347 

22.   Yegorov I., Mairet F., Gouze J.-L. Optimal feedback strategies for bacterial growth with degradation, recycling, and effect of temperature // Optim. Control Appl. Meth. 2018. Vol. 39, no. 2. P. 1084–1109. doi: 10.1002/oca.2398 

23.   Grigorieva E., Khailov E. Chattering and its approximation in control of psoriasis treatment // Discrete Cont. Dyn. Ser. B. 2019. Vol. 24, no. 5. P. 2251–2280. doi: 10.3934/dcdsb.2019094 

24.   Bonnans F., Martinon P., Giorgi D., Grelard V., Maindrault S., Tissot O., Liu J. BOCOP 2.0.5 — User guide [e-resource]. 2017. URL: http://bocop.org .

Поступила 16.01.2020

После доработки 28.01.2020

Принята к публикации 3.02.2020

Григоренко Николай Леонтьевич
д-р физ.-мат. наук, профессор
фак. ВМК МГУ им. М.В. Ломоносова
г. Москва
e-mail: grigor@cs.msu.su

Хайлов Евгений Николаевич
канд. физ.-мат. наук, доцент
фак. ВМК МГУ им. М.В. Ломоносова
г. Москва
e-mail: khailov@cs.msu.su

Григорьева Эллина Валерьевна
канд. физ.-мат. наук, профессор
Техасский женский университет, США
e-mail: egrigorieva@mail.twu.edu

Клименкова Анна Дмитриевна
студент
фак. ВМК МГУ им. М.В. Ломоносова
г. Москва
e-mail: klimenkovaad@mail.ru

Ссылка на статью: Н.Л. Григоренко, Е.Н. Хайлов, Э.В. Григорьева, А.Д. Клименкова. Оптимальные стратегии лечения раковых заболеваний в математической модели конкуренции Лотки - Вольтерры // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2020. Т. 26, № 1. C. 71-88.

English

N.L. Grigorenko, E.N. Khailov, E.V. Grigorieva, A.D. Klimenkova. Optimal strategies in the treatment of cancers in the Lotka–Volterra mathematical model of competition

The Lotka–Volterra competition model is applied to describe the interaction between the concentrations of healthy and cancer cell in diseases associated with blood cancer. The model is supplemented with a differential equation characterizing the change in the concentration of a chemotherapeutic drug. The equation contains a scalar bounded control that specifies the intensity of drug intake. We consider the problem of minimizing the weighted difference between the concentrations of cancer and healthy cells at the end time of the treatment period. The properties of an optimal control are established analytically with the use of the Pontryagin maximum principle. We describe situations in which the optimal control is a relay function and situations in which the control may contain a segment with a singular arc in addition to relay segments. The results obtained are confirmed by corresponding numerical calculations.

Keywords: Lotka–Volterra competition model, nonlinear control system, Pontryagin maximum principle, switching function, bang-bang control, singular arc

Received January 16, 2020

Revised January 28, 2020

Accepted February 3, 2020

Funding Agency: The work of the first two authors was supported by the Russian Foundation for Basic Research jointly with the Department of Science and Technology of the Government of India (project no. 18-51-45003 IND_a).

Nikolai Leont’evich Grigorenko, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Faculty of Computational Mathematics and Cybernetics, Moscow State Lomonosov University, Moscow, 119992, Russia,
e-mail: grigor@cs.msu.su

Evgenii Nikolaevich Khailov, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Faculty of Computational Mathematics and Cybernetics, Moscow State Lomonosov University, Moscow, 119992, Russia,
e-mail: khailov@cs.msu.su

Ellina Valer’evna Grigorieva, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Prof., Department of Mathematics and Computer Sciences, Texas Woman’s University, Denton, TX 76204, USA,
e-mail: egrigorieva@mail.twu.edu

Anna Dmitrievna Klimenkova, undergraduate student, Faculty of Computational Mathematics and Cybernetics, Moscow State Lomonosov University, Moscow, 119992, Russia,
e-mail: klimenkovaad@mail.ru

Cite this article as: N.L.Grigorenko, E.N.Khailov, E.V.Grigorieva, A.D.Klimenkova. Optimal strategies in the treatment of cancers in the Lotka–Volterra mathematical model of competition. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki URO RAN, 2020, vol. 26, no. 1, pp. 71–88.