А.Р. Данилин. Асимптотика решения задачи оптимального граничного управления с двумя малыми соподчиненными параметрами ... C. 102-111

УДК 517.977

MSC: 35C20, 35B25, 76M45, 93C70

DOI: 10.21538/0134-4889-2020-26-1-102-111

Рассматривается задача оптимального граничного управления решениями уравнения эллиптического типа в ограниченной области с гладкой границей с малым коэффициентом при операторе Лапласа и малым, соподчиненным с первым, коэффициентом при граничном условии и интегральными  ограничениями на управление.
$$
 \left\{
 \begin {array}{ll}
 \displaystyle \mathcal {L}_\varepsilon \mathop {:=}\nolimits - \varepsilon^2 \Delta z + a(x) z = f(x), &
 \displaystyle                 x\in \Omega,\ \  z \in H^1(\Omega), \\[3ex]
 \displaystyle l_{\varepsilon,\beta} z\mathop {:=} \nolimits  \varepsilon^\beta \frac{\partial z}{\partial n} = g(x) + u(x), &
 x\in\Gamma,
 \end {array}
 \right.
 $$
 со следующим функционалом качества
 $$
 J(u) \mathop {:=} \nolimits \|z-z_d\|^2 + \nu^{-1}|||u|||^2 \to \inf, \quad
  u \in \mathcal {U},
 $$
где $0<\varepsilon\ll 1$, $\beta\geqslant 0$, $\beta\in\mathbb{Q}$, $\nu>0,$ $H^1(\Omega)$ - соболевское пространство функций, $\partial z/\partial n$ - производная функции $z$ в точке $x\in\Gamma$ по направлению внешней  (по отношению к области $\Omega$) нормали,
 $$
  \begin {array}{c}
  \displaystyle  a(\cdot),  f(\cdot), z_d(\cdot)  \in  C^\infty(\overline{\Omega}),  \quad
  g(\cdot)\in C^\infty(\Gamma),\quad
  \forall\, x\in \overline{\Omega}\quad a(x)\geqslant \alpha^2>0, \\[2ex]
  \displaystyle \mathcal {U} = \mathcal {U}_1,\quad \mathcal {U}_r\mathop {:=} \nolimits \{u(\cdot)\in L_2(\Gamma)\colon
     |||u||| \leqslant r\}.
 \end {array}
 $$
Здесь через $\|\cdot\|$ обозначена норма в пространстве $L_2 (\Omega)$, а через $|||\cdot|||$ - норма в пространстве $L_2 (\Gamma)$. Получено полное асимптотическое разложение по степеням малого параметра решения рассматриваемой задачи в случае, когда $0<\beta<3/2$.

Ключевые слова: сингулярные задачи, оптимальное управление, краевые задачи для систем уравнений в частных производных, асимптотические разложения

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Лионс Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными. М.: Мир, 1972. 414 c.

2.   Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. Л.:Изд-во ЛГУ, 1950. 255 с.

3.   Лионс Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. М.: Мир, 1971. 371 с.

4.   Casas E. A review on sparse solutions in optimal control of partial differential equations // SeMA J. 2017. Vol. 74. P. 319–344. doi: 10.1007/s40324-017-0121-5 

5.   Lou H., Yong J. Second-order necessary conditions for optimal control of semilinear elliptic equations with leading term containing controls // Math. Control Relat. Fields. 2018. Vol. 8, no. 1. P. 57–88. doi: 10.3934/mcrf.2018003 

6.   Betz Livia M. Second-order sufficient optimality conditions for optimal control of nonsmooth, semilinear parabolic equations // SIAM J. Control Optim. 2019. Vol. 57, no. 6. P. 4033–4062. doi: 10.1137/19M1239106 

7.   Данилин А.Р., Зорин А.П. Асимптотика решения задачи оптимального граничного управления // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2009. Т. 15,№ 4, С. 95–107.

8.   Данилин А.Р., Зорин А.П. Асимптотическое разложение решения задачи оптимального граничного управления // Докл. АН. 2011. Т. 440, № 4. С. 1—4.

9.   Зорин А.П. Асимптотическое разложение решения задачи оптимального управления ограниченным потоком на границе // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2013. Т. 19, № 1. C. 115–121.

10.   Капустян В.Е. Асимптотика ограниченных управлений в оптимальных эллиптических задачах // Докл. АН Украины. Cер. Математика, естествознание, технические науки. 1992. № 2. С. 70–74.

11.   Данилин А.Р. Оптимальное граничное управление в области с малой полостью // Уфим. мат. журн. 2012. Т. 4, № 2. С. 87–100.

12.   Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1964. 540 с.

13.   Морен К. Методы гильбертова пространства. М.: Мир, 1965. 570 с.

14.   Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973. 407 с.

15.   Ильин А.М. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач. М.: Наука, 1989. 336 с.

16.   Вишик М.И., Люстерник Л.А. Регуляроное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром // Успехи мат. наук. 1957. Т.12, вып. 5. С.3–122.

17.   Ильин А.М. Пограничный слой // Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т. 34. М.: ВНИТИ, 1988. С. 175–214. (Итоги науки и техники ВИНИТИ АН СССР.)

Поступила 4.11.2019

После доработки 10.01.2020

Принята к публикации 14.01.2020

Данилин Алексей Руфимович
д-р физ.-мат. наук, профессор,
зав. отделом
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН
г. Екатеринбург
e-mail: dar@imm.uran.ru

Ссылка на статью: А.Р. Данилин. Асимптотика решения задачи оптимального граничного управления с двумя малыми соподчиненными параметрами // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2020. Т.26, № 1. C. 102-111.

English

A.R. Danilin. Asymptotics of a solution to a problem of optimal boundary control with two small cosubordinate parameters

We consider a problem of optimal boundary control for solutions of an elliptic type equation in a bounded domain with smooth boundary with a small coefficient at the Laplace operator, a small coefficient, cosubordinate with the first, at the boundary condition, and integral constraints on the control:
$$
\left\{ \begin {array}{ll} \displaystyle \mathcal {L}_\varepsilon \mathop {:=} \nolimits - \varepsilon^2 \Delta z + a(x) z = f(x), & \displaystyle x\in \Omega,\quad z \in H^1 (\Omega), \\[3ex] \displaystyle l_{\varepsilon,\beta} z\mathop {:=} \nolimits \varepsilon^\beta \frac{\partial z}{\partial n} = g(x) + u(x), & x\in\Gamma, \end {array} \right.
$$
$$
J(u) \mathop {:=} \nolimits \|z-z_d\|^2 + \nu^{-1}|||u|||^2 \to \inf, \quad u \in \mathcal {U},
$$
where $0<\varepsilon\ll 1$, $\beta\geqslant 0$, $\beta\in\mathbb{Q}$, $\nu>0,$ $H^1 (\Omega)$ is the Sobolev function space, $\partial z/\partial n$ is the derivative of $z$ at the point $x\in\Gamma$ in the direction of the outer (with respect to the domain $\Omega$) normal,
$$
\begin {array}{c} \displaystyle a(\cdot), f(\cdot) \in C^\infty(\overline{\Omega}), \quad g(\cdot)\in C^\infty(\Gamma),\quad \forall\, x\in \overline{\Omega}\quad a(x)\geqslant \alpha^2>0, \\[2ex] \displaystyle \mathcal {U} = \mathcal {U}_1,\quad \mathcal {U}_r\mathop {:-} \nolimits \{u(\cdot)\in L_2(\Gamma)\colon |||u||| \leqslant r \}.
\end {array}
$$
Here $\|\cdot\|$ and $|||\cdot|||$ are the norms in the spaces $L_2(\Omega)$ and $L_2(\Gamma)$, respectively. We find the complete asymptotic expansion of the solution of the problem in the powers of the small parameter in the case where $0<\beta<3/2$.

Keywords: singular problems, optimal control, boundary value problems for systems of partial differential equations, asymptotic expansions

Received December 14, 2019

Revised January 10, 2020

Accepted January 14, 2020

Aleksei Rufimovich Danilin, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia, e-mail: dar@imm.uran.ru

Cite this article as: A.R.Danilin. Asymptotics of a solution to a problem of optimal boundary control with two small cosubordinate parameters, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki URO RAN, 2020, vol. 26, no. 1, pp. 102–111.