А.Г. Ченцов. Ультрафильтры и максимальные сцепленные системы ... C. 274-292

УДК 519.6

MSC: 54А09, 54А10, 54В05

DOI: 10.21538/0134-4889-2020-26-1-274-292

Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект 18-01-00410).

Исследуется структура ультрафильтров (у/ф) широко понимаемого измеримого пространства (ИП), а также максимальных сцепленных систем (МСС), определяемых на данном ИП. Рассматриваются битопологические пространства (БТП) у/ф и МСС, получаемые в обоих случаях посредством оснащения топологиями волмэновского и стоуновского типов; БТП у/ф может рассматриваться как подпространство БТП, точками которого являются МСС. Для абстрактной задачи о достижимости с ограничениями асимптотического характера (ОАХ) у/ф могут использоваться в качестве обобщенных элементов в конструкциях расширений; для последних указана новая реализация, касающаяся применения при построении ОАХ сцепленных семейств подмножеств пространства обычных решений. Анализируется естественное обобщение обычной “сцепленности”, когда постулируется непустота пересечения множеств подсемейств исходного семейства, определяющего ИП, с мощностью, не превышающей заданное натуральное число. Для этого случая устанавливаются соотношения, связывающие у/ф и МСС, понимаемые в упомянутом обобщенном смысле.

Ключевые слова: битопологическое пространство, максимальная сцепленная система, топология, ультрафильтр

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Булинский А. В., Ширяев А. Н. Теория случайных процессов. М.: Физматлит, 2005. 402 с.

2.   Dvalishvili B. P. Bitopological spaces: Theory, relations with generalized algebraic structures, and applications. Nort-Holland. Mathematics studies, 2005. 422 p.

3.   Энгелькинг Р. Общая топология. М.: Мир, 1986. 751 с.

4.   Ченцов А. Г. Ультрафильтры и максимальные сцепленные системы: основные свойства и топологические конструкции // Изв. Ин-та математики и информатики Удмурт. ун-та. 2018. Т. 52. C. 86–102.

5.   Ченцов А. Г. Фильтры и ультрафильтры в конструкциях множеств притяжения // Вестн. Удмурт. ун-та. 2011. Вып. 1. C. 113–142. (Математика. Механика. Компьютерные науки.)

6.   Chentsov A. G. Finitely additive measures and extensions of abstract control problem // J. Math. Sci. 2006. Vol. 133, no.  2. P. 1045–1206. doi: 10.1007/s10958-006-0030-0 

7.   Ченцов А. Г. Компактификаторы в конструкциях расширений задач о достижимости с ограничениями асимптотического характера // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2016. Т. 22, № 1. C. 294–309.

8.   Бурбаки Н. Общая топология. Основные структуры. М.: Наука, 1968. 272 c.

9.   Ченцов А. Г. Об одном представлении результатов действия приближенных решений в задаче с ограничениями асимптотического характера // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2011. Т. 17, № 2. C. 225–239.

10.   Ченцов А. Г. Об одном примере представления пространства ультрафильтров алгебры множеств // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2011. Т. 17, № 4. С. 293–311.

11.   Ченцов А. Г., Бакланов А. П. Об одной задаче асимптотического анализа, связанной с построением области достижимости // Тр. МИРАН. 2015. T. 291. C. 292–311.

12.   Ченцов А. Г., Бакланов А. П., Савенков И. И. Задача о достижимости с ограничениями асимптотического характера // Изв. Ин-та математики и информатики Удмурт. ун-та. 2016. Вып. 1(47). C. 54–118.

13.   Ченцов А. Г. Ультрафильтры измеримых пространств как обобщенные решения в абстрактных задачах о достижимости // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2011. Т. 17, № 1. C. 268–293.

14.   Ченцов А. Г., Пыткеев Е. Г. Некоторые топологические конструкции расширений абстрактных задач о достижимости // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2014. Т. 20, № 4. C. 312–329.

15.   Ченцов А. Г. Ультрафильтры и максимальные сцепленные системы // Вестн. Удмурт. ун-та. 2017. Вып. 3. C. 122–141. (Математика. Механика. Компьютерные науки.)

16.   Ченцов А. Г. Битопологические пространства ультрафильтров и максимальных сцепленных систем // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2018. Т. 24, № 1. C. 257–272.

17.   Федорчук В. В., Филиппов В. В. Общая топология. Основные конструкции. М.: Физматлит, 2006. 336 с.

18.   de Groot J. Superextensions and supercompactness // Proc. I. Intern. Symp. on extension theory of topological structures and its applications. Berlin: VEB Deutscher Verlag Wis., 1969. P. 89–90.

19.   Mill J. van. Supercompactness and Wallman spaces // Amsterdam. Math. Center Tract. 1977. 85. 238 p.

20.   Strok M., Szymanski A. Compact metric spaces have binary subbases // Fund. Math. 1975. Vol. 89, № 1. P. 81–91. doi: 10.4064/fm-89-1-81-91 .

21.   Ченцов А. Г. Суперрасширение как битопологическое пространство // Изв. Ин-та математики и информатики Удмурт. ун-та. 2017. Т. 49. C. 55–79.

22.   Архангельский А. В. Компактность // Итоги науки и техники. Сер. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. 1989. Т. 50. C. 7–128.

23.   Ченцов А. Г. Суперкомпактные пространства ультрафильтров и максимальных сцепленных систем // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2019. Т. 25, № 2. C. 240–257.

24.   Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств. М.: Мир, 1970. 416 c.

25.   Неве Ж. Математические основы теории вероятностей. М.: Мир, 1969. 309 c.

26.   Александров П. С. Введение в теорию множеств и общую топологию. М.: Едиториал УРСС, 2004. 368 с.

27.   Ченцов А. Г. Множества притяжения в абстрактных задачах о достижимости: эквивалентные представления и основные свойства // Изв. вузов. Математика. 2013. № 11. C. 33–50.

28.   Ченцов А. Г. Преобразования ультрафильтров и их применение в конструкциях множеств притяжения // Вестн. Удмурт. ун-та. 2012. Вып. 3. C. 85–102. (Математика. Механика. Компьютерные науки.)

29.   Chentsov A. G., Morina S. I. Extensions and relaxations. Dordrecht;Boston;London: Kluwer Acad. Publ., 2002. 408 p.

30.    Ченцов А. Г. Некоторые свойства ультрафильтров, связанные с конструкциями расширений // Вестн. Удмурт. ун-та. 2014. Вып. 1. C. 87–101. (Математика. Механика. Компьютерные науки.)

Поступила 15.11.2019

После доработки 25.12.2019

Принята к публикации 14.01.2020

Ченцов Александр Георгиевич
д-р физ.-мат. наук, профессор
чл.-корр. РАН
главный науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН;
Уральский федеральный университет им. Б.Н. Ельцина
г. Екатеринбург
e-mail: chentsov@imm.uran.ru

Ссылка на статью: А.Г. Ченцов. Ультрафильтры и максимальные сцепленные системы // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2020. Т. 26, № 1. C. 274-292.

English

A.G. Chentsov. Ultrafilters and maximal linked systems

The structure of ultrafilters of a broadly understood measurable space and of maximal linked systems defined on this space is studied. Bitopological spaces of ultrafilters and maximal linked spaces obtained in both cases by equipping the space with topologies of Wallman and Stone types are considered; the bitopological space of ultrafilters can be considered as a subspace of the bitopological space whose points are maximal linked systems. For an abstract attainability problem with constraints of asymptotic nature, ultrafilters can be used as generalized elements in extension constructions; for the latter case, we present a new implementation that involves the application of linked families of subsets of the set of ordinary solutions in the construction of constraints of asymptotic nature. A natural generalization of the usual “linkedness” is considered, when it is postulated that the intersection of sets of subfamilies of the original family defining the measurable space of cardinality not exceeding a given positive integer is nonempty. For this case, we establish relations connecting ultrafilters and maximal linked systems considered in the specified generalized sense.

Keywords: bitopological space, maximal linked system, topology, ultrafilter

Received November 15, 2019

Revised December 25, 2019

Accepted January 14, 2020

Funding Agency: This work was supported by the Russian Foundation for Basic Research (project no. 18-01-00410).

Alexander Georgievich Chentsov, Dr. Phys.-Math. Sci, RAS Corresponding Member, Prof., Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia; Ural Federal University, Yekaterinburg, 620083 Russia, e-mail: chentsov@imm.uran.ru

Cite this article as: A.G. Chentsov. Ultrafilters and maximal linked systems, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki URO RAN, 2020, vol. 26, no. 1, pp. 274–292.