А.В. Фоминых, В.В. Карелин, Л.Н. Полякова. Градиентный метод решения некоторых типов дифференциальных включений ... C. 256-273

УДК 517.911.5

MSC: 34A60, 49J52, 49J53

DOI: 10.21538/0134-4889-2020-26-1-256-273

Работа выполнена при поддержке РНФ (проект 18-71-00006).

В статье рассматриваются некоторые классы задач с дифференциальными включениями, для которых разработан эффективный алгоритм их решения, базирующийся на градиентном методе. В первой части статьи описывается алгоритм решения дифференциальных включений со свободным или с закрепленным правым концом и с выпуклым непрерывным многозначным отображением, допускающим опорную функцию с непрерывной производной по фазовым координатам. Данный алгоритм состоит в сведении рассматриваемой задачи к задаче минимизации некоторого функционала в функциональном пространстве. Для этого функционала получен градиент Гато, найдены необходимые, а в некоторых случаях и достаточные условия минимума. Далее к этому функционалу применяется метод градиентного спуска. Во второй части статьи разработанный подход демонстрируется на решении трех основных классов дифференциальных включений, в частности 1) дифференциального включения, получающегося из управляемой системы с переменной областью управления, зависящей от фазовых координат, 2) дифференциального включения, содержащего в правой части прямую сумму, объединение или пересечение выпуклых множеств, 3) линейной интервальной системы ОДУ, рассматриваемой как дифференциальное включение.

Ключевые слова: дифференциальное включение, градиент Гато, опорная функция, метод градиентного спуска, линейные интервальные системы, переменная область управления

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Благодатских В.И, Филиппов А.Ф. Дифференциальные включения и оптимальное управление // Тр. МИАН СССР. 1985. Т. 169. С. 194–252.

2.   Watbled F. On singular perturbations for differential inclusions on the infinite interval // J. Math. Anal. Appl. 2005. Vol. 310, no. 2. P. 362–378. doi: 10.1016/j.jmaa.2005.01.067 

3.   Gama R., Smirnov G. Stability and optimality of solutions to differential inclusions via averaging method // Set-Valued and Variational Analysis. 2014. Vol. 22, no. 2. P. 349–374. doi: 10.1007/s11228-013-0261 

4.   Cheng Y. Existence of solutions for a class of nonlinear evolution inclusions with nonlocal conditions // J. Optim. Theory Appl. 2014. Vol. 162, no. 1. P. 13–33. doi:10.1007/s10957-013-0446-x 

5.   Fominyh A.V. A method for solving differential inclusions with fixed right end // Вестн. С.-Петербург. ун-та. Сер. 10. Прикл. математика. Информатика. Процессы управления. 2018. Т. 14, № 4. С. 302–315. doi: 10.21638/11702/spbu10.2018.403 

6.   Fominyh A.V. A numerical method for finding the optimal solution of a differential inclusion // Vestnik St. Petersburg University: Mathematics. 2018. Vol. 51, no. 4. P. 397–406. doi: 10.3103/S1063454118040076 

7.   Sandberg M. Convergence of the forward Euler method for nonconvex differential inclusions // SIAM J. Numer. Anal. 2008. Vol. 47, no. 1. P. 308–320. doi: 10.1137/070686093 

8.   Bastien J. Convergence order of implicit Euler numerical scheme for maximal monotone differential inclusions // Zeitschrift fur Angewandte Mathematik und Physik. 2013. Vol. 64. P. 955–966. doi: 10.1007/s00033-012-0276-y 

9.   Beyn W-J., Rieger J. The implicit Euler scheme for one-sided Lipschitz differential inclusions // Discrete and Continuous Dynamical Systems. Series B. 2010. Vol. 14, no. 2. P. 409–428. doi: 10.3934/dcdsb.2010.14.409 

10.   Lempio F. Modified Euler methods for differential inclusions // Set-Valued Analysis and Differential Inclusions / eds A.B. Kurzhanski, M. Veliov. (A Collection of Papers Resulting from A Workshop Held in Pamporovo, Bulgaria, September 17–21, 1990). Boston, Basel, Berlin, Birkhauser Verlag Publ., 1993. P. 131–148. (Progr. Systems Control Theory).

11.   Taubert K. Dierenzenverfahren fiir Schwingungen mit trockener und zdher Reibung und fiir Regelungssysteme // Numerische Mathematik. 1976. No. 26. P. 379–395. doi: 10.1007/BF01409960 

12.   Veliov V. Second order discrete approximations to strongly convex differential inclusions // Systems and Control Letters. 1989. Vol 13, no. 3. P. 263–269. doi: 10.1016/0167-6911(89)90073-X 

13.   Dontchev A., Lempio F. Difference methods for differential inclusions: A surve // SIAM Review. 1992. Vol. 34, no. 2. P. 263–294. doi: 10.1137/1034050 

14.   Schilling K. An algorithm to solve boundary value problems for differential inclusions and applications in optimal control // Numer. Funct. Anal. Optim. 1989. Vol. 10, no. 7. P. 733–764. doi: 10.1080/01630568908816328 

15.   Благодатских В.И. Введение в оптимальное управление. М.: Высшая школа, 200. 239 c.

16.   Демьянов В.Ф. Условия экстремума и вариационное исчисление. М.: Высшая школа, 2005. 335 c.

17.   Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977. 741 c.

18.   Penot J.P. On the convergence of descent algorithms // Comput. Optim. Appl. 2002. Vol. 23, no. 3. P. 279–284.

19.   Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.: Наука, 1985. 226 с.

20.   Демьянов В.Ф., Рубинов А.М. Основы негладкого анализа и квазидифференциальное исчисление. М.: Наука, 1990. 432 c.

21.   Полякова Л.Н. Необходимые условия эксремума квазидифференцируемых функций // Вестн. Ленингр. ун-та. 1980. № 13. С. 57–62.

22.   Михалевич В.С. Последовательные алгоритмы оптимизации и их применение // Кибернетика. 1965. Т. 1, № 1. С. 44–55.

23.   Крылов И.А., Черноусько Ф.Л. Решение задач оптимального управления методом локальных вариаций // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1966 Т. 6, №1. С. 203–217.

Поступила 23.12.2019

После доработки 31.01.2020

Принята к публикации 3.02.2020

Фоминых Александр Владимирович,
канд. физ.-мат. наук, доцент
Санкт-Петербургский государственный университет
г. Санкт-Петербург
e-mail: alexfomster@mail.ru

Карелин Владимир Витальевич,
канд. физ.-мат. наук, доцент
Санкт-Петербургский государственный университет
г. Санкт-Петербург
e-mail: vlkarelin@mail.ru

Полякова Людмила Николаевна,
д-р физ.-мат. наук, профессор,
Санкт-Петербургский государственный университет
г. Санкт-Петербург
e-mail: lnpol07@mail.ru

Ссылка на статью: А.В. Фоминых, В.В. Карелин, Л.Н. Полякова. Градиентный метод решения некоторых типов дифференциальных включений // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2020. Т. 26, № 1. C. 256-273.

English

A.V. Fominyh, V.V. Karelin, L.N. Polyakova. Gradient method for solving some types of differential inclusions

We discuss some classes of problems with differential inclusions, for which an efficient algorithm based on the gradient method is developed. The first part of the paper describes an algorithm for solving differential inclusions with a free or a fixed right end and a convex continuous multivalued mapping that admits a support function with a continuous derivative with respect to the phase coordinates. This algorithm reduces the problem under consideration to the problem of minimizing a certain functional in a function space. For this functional, the Gateaux gradient is obtained and necessary and, in some cases, sufficient minimum conditions are found. Further, the gradient descent method is applied to the functional. In the second part of the paper, the developed approach is illustrated by solving three main classes of differential inclusions: (1) a differential inclusion obtained from a control system with a variable control domain depending on the phase coordinates, (2) a differential inclusion containing the direct sum, union, or intersection of convex sets in the right-hand side, (3) a linear interval system of ODEs considered as a differential inclusion.

Keywords: differential inclusion, Gateaux gradient, support function, gradient descent method, linear interval system, variable control domain

Received December 23, 2019

Revised January 31, 2020

Accepted February 3, 2020

Funding Agency: This work was supported by the Russian Science Found (project no. 18-71-00006).

Alexander Vladimirovich Fominyh, Cand. Sci. (Phys.-Math.), St. Petersburg State University, St. Petersburg, 199034 Russia, e-mail: alexfomster@mail.ru

Vladimir Vital’evich Karelin, Cand. Sci. (Phys.-Math.), St. Petersburg State University, St. Petersburg, 199034 Russia, e-mail: vlkarelin@mail.ru

Lyudmila Nickolaevna Polyakova, Dr. Phys.-Math. Sci., St. Petersburg State University, St. Petersburg, 199034, Russia, e-mail: lnpol07@mail.ru

Cite this article as: A.V. Fominyh, V.V. Karelin, L.N. Polyakova. Gradient method for solving some types of differential inclusions, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki URO RAN, 2020, vol. 26, no. 1, pp. 256–273.