В.Н. Ушаков, М.В. Першаков. О двусторонних аппроксимациях множеств достижимости управляемых систем с геометрическими ограничениями на управления ... C. 239-255

УДК 517.955.8

MSC: 37C50, 37J25, 41A29

DOI: 10.21538/0134-4889-2020-26-1-239-255

Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научных проектов №18-01-00264 и 18-01-00221.

Рассматривается нелинейная управляемая система в евклидовом пространстве и на конечном промежутке времени, управления которой стеснены геометрическими ограничениями. Изучается вопрос о конструировании нижних и верхних (по включению) аппроксимаций множеств достижимости управляемой системы. При определенных условиях на систему получены оценки рассогласования (в хаусдорфовой метрике) между нижними и верхними аппроксимациями множеств достижимости.

Ключевые слова: управляемая система, управление, дифференциальное включение, геометрические ограничения, множество достижимости, аппроксимация

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Куржанский А.Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. М.: Наука, 1977. 392 с.

2.   Куржанский А.Б. Избранные труды. М.: Изд-во МГУ, 2009. 756 с.

3.   Kurzhanski A.B., Filippova T.F. On the theory of trajectory tubes: a mathematical formalism for uncertain dynamics, viability and control // Advances in Nonlinear Dynamics and Control / ed. A.B. Kurzhanski. Ser. PSCT 17. Boston: Birkhauser, 1993. P. 122–188.

4.   Красовский Н. Н., Субботин А. И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1974. 456 с.

5.   Понтрягин Л.С. Линейные дифференциальные игры преследования // Мат. сб. 1980. Т. 112 (154), № 3 (7). С. 307–330. doi: 10.1070/SM1981v040n03ABEH001815 

6.   Никольский М.С. Об аппроксимации множества достижимости для дифференциального включения // Вест. Москов. ун-та. Сер. 15. Вычисл. математика и кибернетика. 1987. №4. С. 31–34.

7.   Черноусько Ф.Л. Оценивание фазового состояния динамических систем. М.: Наука, 1988. 319 с.

8.   Kurzhanski A.B., Valyi I. Ellipsoidal techniques for dynamic systems: Control synthesis for uncertain systems // Dynamics and Control. 1992. Vol. 2, № 2. P. 87–111. doi: 10.1007/BF02169492 

9.   Овсеевич А.И., Черноусько Ф.Л. Двусторонние оценки областей достижимости управляемых систем // Прикл. математика и механика. 1982. Т. 46, вып. 5. С. 737–744. doi: 10.1016/0021-8928(82)90005-3 

10.   Gusev M.I., Zykov I.V. On extremal properties of boundary points of reachable sets for a system with integrally constrained control // IFAC-PapersOnLine. 2017. Vol. 50, no. 1. P. 4082–4087. doi: 10.1016/j.ifacol.2017.08.792 

11.   Veliov V. On the time-discretization of control systems // SIAM J. Control Optim. Vol. 35, no. 5. P. 1470–1486. doi: 10.1137/S0363012995288987 

12.   Костоусова Е.К. Об ограниченности внешних полиэдральных оценок множеств достижимости линейных систем // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2008. Т. 48, №6. С. 974–989. doi: 10.1134/S0965542508060043 

13.   Гусейнов Х.Г., Моисеев А.Н., Ушаков В.Н. Об аппроксимации областей достижимости управляемых систем // Прикл. математика и механика. 1998. Т. 62, № 2. С. 179–187. doi: 10.1016/S0021-8928(98)00022-7 

14.   Горнов А.Ю. Вычислительные технологии решения задач оптимального управления. Новосибирск: Наука, 2000. 297 с.

15.   Лотов А.В. Новая внешняя оценка множества достижимости нелинейной многошаговой динамической системы // Журн. вычислит. математики и мат. физики. 2018. Т. 58, №2. С. 209–219. doi: 10.7868/S0044466918020060

16.   Ушаков В.Н., Ухоботов В.И., Ушаков А.В., Паршиков Г.В. К решению задач о сближении управляемых систем // Тр. МИАН. 2015. Т. 291. С. 276–291. doi: 10.1134/S0371968515040214

Поступила 14.01.2020

После доработки 6.02.2020

Принята к публикации 10.02.2020

Ушаков Владимир Николаевич
д-р физ.-мат.наук, профессор
главный науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н.Красовского УрО РАН
г. Екатеринбург
e-mail: ushak@imm.uran.ru

Першаков Максим Вадимович
математик
Институт математики и механики им. Н.Н.Красовского УрО РАН
г. Екатеринбург
e-mail: Mper192@yandex.ru

Ссылка на статью: В.Н. Ушаков, М.В. Першаков. О двусторонних аппроксимациях множеств достижимости управляемых систем с геометрическими ограничениями на управления // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2020. Т. 26, № 1. C. 239-255.

English

V.N. Ushakov, M.V. Pershakov. On two-sided approximations of reachable sets of control systems with geometric constraints on the controls

We consider a nonlinear control system in Euclidean space on a finite time interval with controls subject to geometric constraints. The question of constructing lower and upper (by inclusion) approximations of reachable sets of this system is studied. Under certain conditions, estimates are obtained for the discrepancy (in the Hausdorff metric) between the lower and upper approximations of the reachable sets.

Keywords: control system, control, differential inclusion, geometric constraints, reachable set, approximation

Received January 14, 2020

Revised February 6, 2020

Accepted February 10, 2020

Funding Agency: This work was supported by the Russian Foundation for Basic Research (projects no. 18-01-00264 and no. 18-01-00221).

Vladimir Nikolaevich Ushakov, Dr. Phys.-Math. Sci., RAS Corresponding Member, Prof., Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia, e-mail: ushak@imm.uran.ru

Maksim Vadimovich Pershakov, Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia, e-mail: ushak@imm.uran.ru

Cite this article as: V.N. Ushakov, M.V. Pershakov. On two-sided approximations of reachable sets of control systems with geometric constraints on the controls, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki URO RAN, 2020, vol. 26, no. 1, pp. 239–255.