Н.Г. Новоселова, Н.Н. Субботина. Построение множества выживаемости в задаче химиотерапии злокачественной опухоли, растущей по закону Гомперца ... C. 173-181

УДК 517.977

MSC: 49L25, 49K15, 65K05

DOI: 10.21538/0134-4889-2020-26-1-173-181

Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект 20-01-00362).

Рассматривается задача химиотерапии злокачественной опухоли, растущей по закону Гомперца. Математическая модель имеет вид системы, состоящей из двух обыкновенных дифференциальных уравнений. Исследуется задача оптимального управления (оптимальной терапии), целью которой является минимизация злокачественных клеток в организме в заданный финальный момент времени T. В работе аналитически построено множество выживаемости этой задачи, т.е. множество начальных состояний модели (объема опухоли и количества лекарства в организме), для которых оптимальное управление гарантирует динамику злокачественной опухоли вплоть до момента времени T в объеме, не превышающем предельный объем, совместимый с жизнью.

Ключевые слова: множество выживаемости, оптимальное управление, функция цены

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Bellman R. Dynamic programming. Princeton: Princeton University Press, 1957. 340 p.

2.    Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М: Наука, 1961. 392 с.

3.   Красовский Н.Н. Теория управления движением. М: Наука, 1968. 476 с.

4.   Айзекс Р. Дифференциальные игры. М.: Мир, 1967. 489 с.

5.   Красовский Н.Н., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1974. 456 с.

6.   Куржанский А.Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. М.: Наука, 1977. 392 с.

7.   Никольский М.С. Об альтернированном интеграле Л.С. Понтрягина // Мат. сб. 1981. Т. 116, вып. 1. С. 136–144.

8.   Куржанский А.Б., Мельников Н.Б. О задаче синтеза управлений: альтернированный интеграл Понтрягина и уравнение Гамильтона — Якоби. // Мат. сб. 2000. Т. 191, вып. 6. С. 69–100.

9.   Ушаков В.Н., Ухоботов В.И., Липин A.E. Об одном дополнении к определению стабильного моста и аппроксимирующей системы множеств в дифференциальных играх // Тр. МИАН. 2019. Т. 304. С. 285–297.

10.  Patsko V., Kumkov S., Turova V. Pursuit-evasion games // Handbook of Dynamic Game Theory / eds. T. Basar, G. Zaccour. Cham: Springer, 2018. P. 1-87. doi: 10.1007/978-3-319-27335-8_30-2 .

11.   Братусь А.С.,Чумерина Е.С. Cинтез оптимального управления в задаче выбора лекарственного воздействия на растущую опухоль // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2008. Т. 48, вып. 6. С. 946–966.

12.   Subbotina N.N. , Novoselova N.G. The value function in a problem of chemotherapy of a malignant tumor growing according to the Gompertz law // IFAC-PapersOnLine. 2018. Vol. 51, iss. 32. P. 855–860.

13.   Субботина Н. Н., Колпакова Е. А.,Токманцев Т. Б.,Шагалова Л. Г. Метод характеристик для уравнения Гамильтона — Якоби — Беллмана. Екатеринбург: Изд-во УрО РАН, 2013. 244 с.

14.   Субботин А. И. Обобщенные решения уравнений в частных производных первого порядка: Перспективы динамической оптимизации. М.; Ижевск: Ин-т компьютер. исслед., 2003. 336 c.

Поступила 15.10.2019

После доработки 17.01.2020

Принята к публикации 20.01.2020

Новоселова Наталья Геннадьевна
младший науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н.Красовского УрО РАН;
аспирант
Уральский федеральный университет
г. Екатеринбург
e-mail: n.g.novoselova@gmail.com

Субботина Нина Николаевна
д-р физ.-мат. наук, чл.-корр. РАН
главный науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н.Красовского УрО РАН;
профессор
Уральский федеральный университет
г. Екатеринбург
e-mail: subb@uran.ru

Ссылка на статью: Н.Г. Новоселова, Н.Н. Субботина. Построение множества разрешимости в задачах химиотерапии злокачественных опухолей // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2020. Т. 26, № 1. C. 173-181.

English

N.G. Novoselova, N.N. Subbotina. Construction of the viability set in a problem of chemotherapy of a malignant tumor growing according to the Gompertz law

The problem of chemotherapy of a malignant tumor growing according to the Gompertz law is considered. The mathematical model is a system of two ordinary differential equations. We study a problem of optimal control (optimal therapy) aiming at the minimization of the malignant cells in the body at a given terminal time T. The viability set of this problem, i.e., the set of initial states of the model (the volume of the tumor and the amount of the drug in the body) for which an optimal control guarantees that the dynamics of the system up to the time T is compatible with life in terms of the volume of the tumor, is constructed analytically.

Keywords: viability set, optimal control, value function

Received October 15, 2019

Revised January 17, 2020

Accepted January 20, 2020

Funding Agency: This work was supported by the Russian Foundation for Basic Research (project no. 20-01-00362).

Natal’ja Gennad’evna Novoselova, doctoral student, Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia; Ural Federal University, Yekaterinburg, 620000 Russia,
e-mail: n.g.novoselova@gmail.com

Nina Nikolaevna Subbotina, Dr. Phys.-Math. Sci., RAS Corresponding Member, Prof., Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia; Ural Federal University, Yekaterinburg, 620083 Russia,
e-mail: subb@uran.ru

Cite this article as: N.G. Novoselova, N.N. Subbotina. Construction of the viability set in a problem of chemotherapy of a malignant tumor growing according to the Gompertz law, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki URO RAN, 2020, vol. 26, no. 1, pp. 173–181.