В.С. Пацко, А.А. Федотов. Аналитическое описание множества достижимости для машины Дубинса ... C. 182-197

УДК 517.977

MSC: 93C15, 93B03, 49J15

DOI: 10.21538/0134-4889-2020-26-1-182-197

Рассматривается трехмерное множество достижимости "в момент" для управляемого объекта "машина Дубинса" (другое название - unicycle). Изучается случай, когда повороты возможны в обе стороны. Для такого случая в предыдущих статьях авторов на основе принципа максимума Понтрягина выделены шесть типов кусочно-постоянных программных управлений, которыми можно ограничиться при изучении границы множества достижимости $G(t_f)$ в заданный момент времени $t_f$. Такие управления были использованы для численного построения множества достижимости и его визуализации. Однако аналитического описания границы множества $G(t_f)$ не было получено. Данная работа посвящена выводу формул для двумерных сечений множества $G(t_f)$ по угловой координате, которые, вообще говоря, не являются выпуклыми. Проанализирована структура указанных сечений. При записи динамики в нормированных координатах аналитическое описание получено в предположении $t_f {\leq} 2\pi$. Для этого случая сформулирована теорема о необходимых и достаточных условиях перевода движения на границу множества $G(t_f)$. Случай $t_f>2\pi$ пока не охвачен аналитическим описанием из-за усложнения структуры сечений, в частности за счет потери односвязности множества $G(t_f)$ для некоторых значений $t_f$.

Ключевые слова: машина Дубинса, двусторонние повороты, трехмерное множество достижимости, принцип максимума Понтрягина, экстремальные кусочно-постоянные управления, сечения множества достижимости по угловой координате, аналитическое описание сечений

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Laumond J.-P. (ed.) Robot motion planning and control. Berlin; Heidelberg: Springer-Verlag, 1998. 354 p. (Lecture Notes in Control and Information Sciences; vol. 229). doi: 10.1007/BFb0036069 

2.   Пацко В.С., Пятко С.Г., Федотов А.А. Трехмерное множество достижимости нелинейной управляемой системы // Изв. РАН. ТиСУ. 2003. № 3. С. 8–16.

3.   Симоненко А.С., Федотов А.А. Множество достижимости для автомобиля Дубинса при несимметричном ограничении на управление [e-resource] // CEUR-WS: Proc. of 48th Internat. Youth School-Conf. Yekaterinburg, 2017. Modern Problems in Mathematics and its Applications, vol. 1894. P. 79–87. URL: http://ceur-ws.org/Vol-1894/opt6.pdf .

4.   Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В. и др. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1969. 384 с.

5.   Ли Э.Б., Маркус Л. Основы теории оптимального управления. М.: Наука, 1972. 576 с.

6.   Dubins L.E. On curves of minimal length with a constraint on average curvature and with prescribed initial and terminal positions and tangents // American J. Math. 1957. Vol. 79, no. 3. P. 497–516. doi: 10.2307/2372560 

Поступила 14.01.2020

После доработки 22.01.2020

Принята к публикации 27.01.2020

Пацко Валерий Семенович
 канд. физ.-мат. наук, ведущий науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН;
Уральский федеральный университет
г. Екатеринбург
e-mail: patsko@imm.uran.ru

Федотов Андрей Анатольевич
канд. физ.-мат. наук, старший науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН
г. Екатеринбург
e-mail: andreyfedotov@mail.ru

Ссылка на статью: В.С. Пацко, А.А. Федотов. Аналитическое описание множества достижимости для машины Дубинса // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2020. Т. 26, № 1. C. 182-197.

English

V.S. Patsko, A.A. Fedotov. Analytic description of a reachable set for the Dubins car

A three-dimensional reachable set at an instant is considered for the controlled object "Dubins car" (also known as unicycle). We study the case when turns to both sides are possible. For this case, the authors earlier specified, based on the Pontryagin maximum principle, six types of piecewise constant open-loop controls; one can restrict oneself to these controls when studying the boundary of the reachable set $G(t_f)$ at a given time $t_f$. These controls were used for the numerical construction of the reachable set and for its visualization. However, no analytic description of the boundary of the set $G(t_f)$ was obtained. In the present paper, we derive formulas for the generally nonconvex two-dimensional sections of the set $G(t_f)$ with respect to the angular coordinate. The structure of the sections is analyzed. For the dynamics in the normalized coordinates, an analytic description is obtained under the assumption that $t_f\leq 2\pi$. For this case, a theorem is formulated on necessary and sufficient conditions for transferring a motion to the boundary of $G(t_f)$. The case $t_f>2\pi$ is not covered by the analytic description because of the more complex structure of the sections, in particular, due to the loss of connectivity of $G(t_f)$ for some values of $t_f$.

Keywords: Dubins car, two-sided turns, three-dimensional reachable set, Pontryagin maximum principle, extremal piecewise constant control, sections of the reachable set along the angle coordinate, analytic description of the sections

Received January 14, 2020

Revised January 22, 2020

Accepted January 27, 2020

Valerii Semenovich Patsko, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia; Ural Federal University, Yekaterinburg, 620000 Russia, e-mail: patsko@imm.uran.ru

Andrei Anatol’evich Fedotov, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia, e-mail: andreyfedotov@mail.ru

Cite this article as: V.S. Patsko, A.A. Fedotov. Analytic description of a reachable set for the Dubins car, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki URO RAN, 2020, vol. 26, no. 1, pp. 182–197.