Б.И. Ананьев. Оценивание состояний стохастических многошаговых включений ... С. 12-26

УДК 519.216.3

MSC: 93E10, 62L12, 34G25

DOI: 10.21538/0134-4889-2020-26-1-12-26

Рассмотрены многошаговые стохастические включения вида $z_k\in H_k(z_{k-1},\omega)$, где $z_k\in Z_k=X_kY_k$, $k\in1:N$. Проекция $z_k$ на $X_k$ считается ненаблюдаемым, а проекция на $Y_k$ - наблюдаемым состоянием. Элемент $\omega$ принадлежит вероятностному пространству $(\Omega,\mathcal {F},P)$, а мультиотображение $H_k(z,\cdot)$ является измеримым относительно $\sigma$-алгебры $\mathcal {G}_k$. Последние $\sigma$-алгебры полагаются независимыми при разных $k$, а их объединение $\mathcal {F}_k=\sigma\big(\bigcup_{i\in1:k}\mathcal {G}_i\big)\subset\mathcal {F}$ характеризует возрастающее накопление информации. Исследуются три способа оценивания ненаблюдаемых состояний, которые основаны на разных подходах к формированию множества переходных вероятностей. Показано, что эти способы приводят к различным множествам условных распределений для ненаблюдаемых состояний процесса. Частично изучен вопрос о достаточных условиях совпадения рассмотренных схем фильтрации и доказано, что для конечных фазовых пространств эти схемы совпадают в случае неатомического вероятностного пространства. Введен новый класс лебеговских селекторов для произвольных мультиотображений и установлено, что он не пуст, в частности, для измеримых простых прямоугольников на неатомическом пространстве. Доказано, что в лебеговском классе для простых включений и селекторов, заданных на неатомическом вероятностном пространстве, схемы фильтрации также совпадают.

Ключевые слова: оценивание, фильтрация, стохастические включения, селекторы, переходные вероятности, условные распределения

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Ananyev B.I. One problem of statistically uncertain estimation // Proc. of Intern. Conf. SCDG2019: Short paper (Yekaterinburg, 16–20 Sept. 2019) / IMM UB of RAS. Yekaterinburg, 2019. P. 375–379. ISBN 978-5-8295-0652-0 .

2.   Ананьев Б.И., Аникин С.А. Задача восстановления входных воздействий при коммуникационных ограничениях // Автоматика и телемеханика. 2009. № 7. С. 73–84.

3.   Ананьев Б.И. О коррекции движения при коммуникационных ограничениях // Автоматика и телемеханика. 2010. № 3. С. 3–15.

4.   Кац И.Я., Куржанский А.Б. Минимаксное оценивание в многошаговых системах // Докл. АН СССР. 1975. Т. 221, № 3. С. 535–538.

5.   Anan’ev B.I. Minimax estimation of statistically uncertain systems under the choice of a feedback parameter // J. Math. Systems, Estimation, and Control. 1995. Vol. 5, no. 2. P. 1–17.

6.   Лебедев М.В., Семенихин К.В. Минимаксная фильтрация в стохастической дифференциальной системе с нестационарными возмущениями неизвестной интенсивности // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2007. № 2. С. 45–56.

7.   Nguyen Hung T. et al. Computing statistics under interval and fuzzy uncertainty. Berlin; Heidelberg: Springer-Verlag, 2012. 432 p. doi: 10.1007/978-3-642-24905-1 

8.   Kisielewicz M. Relationship between attainable sets of functional and set-valued functional stochastic inclusions. Stochastic Anal. Appl. 2016. Vol. 34, no. 6. P. 1094–1110.

9.   Raol J.R., Gopalratnam G., Twala B. Nonlinear filtering. Concepts and engineering applications. Boca Raton: CRC Press, Taylor & Francis Group, 2017. 556 p.

10.   Miranda E., Couso I., Gil P. Approximations of upper and lower probabilities by measurable selections // Information Sciences. 2010. Vol. 180, no. 8. P. 1407–1417. doi: 10.1016/j.ins.2009.12.005 

11.   Бертсекас Д., Шрив С. Стохастическое оптимальное управление. М.: Наука, 1985. 279 с.

12.   Ширяев А.Н. Вероятность-1: в 2 кн. Кн. 1. М.: МЦНМО, 2004. 520 с.

13.   Неве Ж. Математические основы теории вероятностей. М.: Мир, 1969. 431 с.

14.   Борисович Ю.Г. и др. Введение в теорию многозначных отображений и дифференциальных включений. М.: КомКнига, 2005. 215 с.

15.   Nguyen Hung T. On random sets and belief functions // J. Math. Anal. Appl. 1978. Vol. 65, no. 3. P. 531–542. doi: 10.1016/0022-247X(78)90161-0 

16.   Himmelberg C. Measurable relations // Fund. Math. 1975. Vol. 87. P. 53–72. doi: 10.4064/fm-87-1-53-72 .

17.   Miranda E., Couso I., Gil P. Random intervals as a model for imprecise information // Fuzzy Sets and Systems. 2005. Vol. 154. P. 386–412. doi: 10.1016/j.fss.2005.03.001 

Поступила 13.11.2019

После доработки 22.01.2020

Принята к публикации 27.01.2020

Ананьев Борис Иванович
д-р физ.-мат. наук
ведущий научный сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н.Красовского УрО РАН
г. Екатеринбург
e-mail: abi@imm.uran.ru

Ссылка на статью: Б.И. Ананьев. Оценивание состояний стохастических многошаговых включений // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2020. Т. 26, № 1. С. 12-26.

English

B.I. Ananyev. Estimation of states of multistage stochastic inclusions

Multistage stochastic inclusions of the form $z_k\in H_k(z_{k-1} ,\omega)$, where $z_k\in Z_k=X_kY_k$ and $k\in1:N$, are considered. We regard the projection of $z_k$ to $X_k$ as an unobservable state and the projection of $z_k$ to $Y_k$ as an observable state. The element $\omega$ belongs to a probability space $(\Omega,\mathcal {F},P)$, and the multifunction $H_k(z,\cdot)$ is measurable with respect to a $\sigma$-algebra $\mathcal {G}_k$. These $\sigma$-algebras are supposed to be independent for different $k$, and their union $\mathcal {F}_k=\sigma\big(\bigcup_{i\in1:k}\mathcal {G}_i\big)\subset\mathcal {F}$ characterizes an increasing accumulation of information. We consider three ways of estimating the unobservable states based on different methods of forming the set of transition probabilities. It is shown that these ways result in different sets of conditional distributions for the unobservable states of the process. The question of sufficient conditions for the coincidence of the considered filtering schemes is partially studied, and it is proved that, for finite state spaces, these schemes coincide in the case of a nonatomic probability space. A new class of Lebesgue selections is introduced for arbitrary multifunctions and is shown to be nonempty, in particular, for measurable simple rectangles on a nonatomic space. It is proved that the filtering schemes also coincide in the Lebesgue class for simple inclusions and selections defined on a nonatomic probability space.

Keywords: estimation, filtering, stochastic inclusions, selections, transition probabilities, conditional distributions

Received November 13, 2019

Revised January 22, 2020

Accepted January 27, 2020

Boris Ivanovich Ananyev, Dr. Phys.-Math. Sci., Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia, e-mail: abi@imm.uran.ru

Cite this article as: B.I. Ananyev. Estimation of states of multistage stochastic inclusions, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki URO RAN, 2020, vol. 26, no. 1, pp. 12–26.