В.И. Бердышев, В.Б. Костоусов. Траектория, минимизирующая облучение движущегося объекта ... С. 27-38

УДК 519.62

MSC: 00A05

DOI: 10.21538/0134-4889-2020-26-1-27-38

В пространстве $X=\mathbb {R}^N\ (N=2,3)$ задан "коридор" $Y$ для движения объекта, вне коридора расположено конечное число излучателей $s_i$ с фиксированными выпуклыми конусами излучения $K(s_i)$ и интенсивностью излучения $F(y),\ y>0$, удовлетворяющей условию $ F(y)\ge \lambda F(\lambda y)$ при $y>0, \ \lambda >1.$
В классе траекторий равномерного движения 

$ \mathcal {T}=\big\{ t(\tau)\colon 0\le \tau\le 1,\ t(0)=t_*,\ t(1)=t^*\big\}\subset Y,\ t_*,\  t^*\in Y,\  t_*\ne t^*,$

требуется найти траекторию, минимизирующую величину $$ J(\mathcal {T})=\sum_{i}\int\limits_{0}^1 F\big(\|s_i-t(\tau)\|\big)\,d\tau.
$$
В работе предлагаются способы приближенного построения оптимальных траекторий в случае, когда кратность покрытия "коридора" $Y$ конусами $K(s_i)$ не более двух.

Ключевые слова: навигация, оптимальная траектория, облучение, движущийся объект

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Лю В. Методы планирования пути в среде с препятствиями (обзор) // Математика и мат. моделирование. 2018. № 1. С. 15–58. doi: 10.24108/mathm.0118.0000098 

2.   Арутюнов А.В., Магарил–Ильяев Г.Г., Тихомиров В.М. Принцип максимума Понтрягина. Доказательство и приложения. Москва: Факториал Пресс, 2006. 144 с.

3.   Коробкин В.В., Сесекин А.Н., Ташлыков О.Л., Ченцов А.Г. Методы маршрутизации и их приложения в задачах повышения безопасности и эффективности атомных станций. Москва: Новые технологии, 2012. 234 с.

4.   Chentsov A.G., Grigoryev A.M., Chentsov A.A. Optimization “In windows” for routing problems with constraints // Mathematical Optimization Theory and Operations Research — 18th International Conference / eds. I. Bykadorov, V. Strusevich, T. Tchemisova (MOTOR 2019): Revised Selected Papers. N Y, Berlin: Springer Verlag, 2019. pp. 470–485. (Communications in Computer and Information Science; vol. 1090 CCIS). doi: 10.1007/978-3-030-33394-2_36 

Поступила 25.12.2019

После доработки 23.01.2020

Принята к публикации 27.01.2020

Бердышев Виталий Иванович
академик РАН
научный руководитель
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН
г.Екатеринбург
e-mail: bvi@imm.uran.ru

Костоусов Виктор Борисович
канд. физ.-мат. наук
зав. отд.
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН, г.Екатеринбург
e-mail: vkost@imm.uran.ru

Ссылка на статью: В.И. Бердышев, В.Б. Костоусов. Траектория, минимизирующая облучение движущегося объекта // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2020. Т.26, № 1. С. 27-38.

English

V.I. Berdyshev, V.B. Kostousov. A trajectory minimizing the exposure of a moving object

A corridor $Y$ for the motion of an object is given in the space $X=\mathbb {R}^N$ ($N=2,3$). A finite number of emitters $s_i$ with fixed convex radiation cones $K(s_i)$ are located outside the corridor. The intensity of radiation $F(y)$, $y>0$, satisfies the condition
$
F(y)\ge \lambda\rho(\lambda y)$ for $y>0,\ \lambda >1.
$
It is required to find a trajectory minimizing the value
$$
J(\mathcal {T})=\sum_{i}\int\limits_{0}^1 F\big(\|s_i-t(\tau)\|\big)\,d\tau
$$
in the class of uniform motion trajectories
$
\mathcal {T}=\big\{ t(\tau)\colon 0\le \tau\le 1,\ t(0)=t_*,\ t(1)=t^*\big\}\subset Y,\  t_*,\  t^*\in Y,\  t_*\ne t^*.
$
We propose methods for the approximate construction of optimal trajectories in the case when the multiplicity of covering the corridor $Y$ with the cones $K(s_i)$ is at most 2.

Keywords: navigation, optimal trajectory, irradiation, moving object

Received December 25, 2019

Revised January 23, 2020

Accepted January 27, 2020

Vitalii Ivanovich Berdyshev, RAS Academician, Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia, e-mail: bvi@imm.uran.ru

Viktor Borisovich Kostousov, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg 620108 Russia, e-mail: vkost@imm.uran.ru

Cite this article as: V.I. Berdyshev, V.B. Kostousov. A trajectory minimizing the exposure of a moving objects, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki URO RAN, 2020, vol. 26, no. 1, pp. 27–38.