УДК 517.988.63, 517.965, 515.124.2, 512.562
MSC: 47J05, 54H25, 55M20, 47J25
DOI: 10.21538/0134-4889-2019-25-4-52-63
Полный текст статьи (Full text)
Работа выполнена при поддержке РФФИ (проекты № 17-01-00553, № 17-41-680975, № 17-51-12064).
Получены утверждения о существовании решений уравнений специального типа в пространствах с расстоянием и в пространствах с бинарным отношением. Полученные результаты обобщают известные теоремы о точках совпадения накрывающего и липшицева отображений, о липшицевых возмущениях накрывающих отображений в метрических пространствах, а также теоремы о точках совпадения накрывающего и изотонного отображений, об антитонных возмущениях накрывающих отображений в частично упорядоченных пространствах. В первой части работы рассматривается отображение $F: X\times X \to Y,$ где $X$ - метрическое пространство, а в $Y$ задано расстояние, удовлетворяющее лишь аксиоме тождества. Определены "ослабленные аналоги" понятий накрывания и липшицевости отображений из $X$ в $Y.$ В предположении, что $F$ по первому аргументу является накрывающим, а по второму - липшицевым (в смысле данных в работе определений этих свойств), установлено существование решения $x$ уравнения $F(x,x)=y.$ Показано, что из этого утверждения выводятся условия существования точки совпадения накрывающего и липшицева отображений, действующих из $X$ в $Y.$ Во второй части работы аналогичные результаты получены в случае, когда $X$ - частично упорядоченное пространство, а на $Y$ задано рефлексивное бинарное отношение (не являющееся ни транзитивным, ни антисимметричным). Определены "ослабленные аналоги" понятий упорядоченного накрывания и монотонности отображений из $X$ в $Y.$ В предположении, что $F$ по первому аргументу является накрывающим, а по второму - антитонным (в смысле данных в работе определений этих свойств), установлено существование решения $x$ уравнения $F(x,x)=y.$ Из этого утверждения выведены условия существования точки совпадения накрывающего и изотонного отображений, действующих из $X$ в $Y.$ В третьей части установлена взаимосвязь полученных утверждений. А именно, доказано, что из теоремы о разрешимости операторного уравнения в пространствах с бинарным отношением следует аналогичная теорема в пространствах с расстоянием и,соответственно утверждения о точках совпадения.
Ключевые слова: метрическое пространство, упорядоченное пространство, накрывающее отображение, липшицево отображение, монотонное отображение
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Аваков Е.Р., Арутюнов А.В., Жуковский Е.С. Накрывающие отображения и их приложения к дифференциальным уравнениям, не разрешенным относительно производной // Дифференц. уравнения. 2009. Т. 45, № 5. C. 613–634.
2. Арутюнов А.В. Накрывающие отображения в метрических пространствах и неподвижные точки // Докл. АН. 2007. Т. 416, № 2. С. 151–155.
3. Арутюнов А.В., Грешнов А.В. $(q_1,q_2)$-квазиметрические пространства. Накрывающие отображения и точки совпадения // Изв. РАН. Сер. математическая. 2018. Т. 82. № 2. C. 3–32. doi: 10.4213/im8546
4. Arutyunov A.V., Zhukovskiy E.S., Zhukovskiy S.E. Coincidence points principle for mappings in partially ordered spaces // Topology Appl. 2015. Vol. 179, no. 1. P. 13–33. doi: 10.1016/j.topol.2014.08.013
5. Бенараб С., Жуковский Е.С. Об условиях существования точек совпадения отображений в частично упорядоченных пространствах // Вест. Тамбов. ун-та. Серия: Естественные и технические науки. 2018. Т. 23, № 121. С. 10–16. doi: 10.20310/1810-0198-2018-23-121-10-16
6. Бенараб С., Жуковский Е.С., Мерчела В. Распространение теорем о возмущениях накрывающих отображений // Устойчивость, управление, дифференциальные игры (SCDG2019): материалы Междунар. конф., посвященной 95-летию со дня рождения академика Н.Н. Красовского / ИММ УрО РАН. Екатеринбург, 2019. С. 67–71.
7. Дмитрук А.В., Милютин А.А., Осмоловский Н.П. Теорема Люстерника и теория экстремума // Успехи мат. наук. 1980. Т. 35. № 6 (216). С. 11–46.
8. Жуковский Е.С. Об упорядоченно накрывающих отображениях и интегральных неравенствах типа Чаплыгина // Алгебра и анализ. 2018. Т. 30, № 1. C. 96–127.
9. Жуковский Е.С. О точках совпадения многозначных векторных отображений метрических пространств // Мат. заметки. 2016. Т. 100. № 3. С. 344–362. doi: 10.4213/mzm10675
10. Жуковский Е.С. О возмущениях векторно накрывающих отображений и системах уравнений в метрических пространствах // Сиб. мат. журн. 2016. Т. 57. № 2. С. 297–311. doi: 10.17377/smzh.2016.57.206
11. Мерчела В. К теореме Арутюнова о точках совпадения двух отображений метрических пространств // Вест. Тамбов. ун-та. Сер.: Естественные и технические науки. 2018. Т. 23, № 121. С. 65–73. doi: 10.20310/1810-0198-2018-23-121-65-73
12. Плужникова Е.А., Жуковская Т.В., Моисеев Ю.А. О множествах метрической регулярности отображений в пространствах с векторнозначной метрикой // Вест. Тамбов. ун-та. Сер.: Естественные и технические науки. 2018. Т. 23. № 123. С. 547–554. doi: 10.20310/1810-0198-2018-23-123-547-554
13. Bishop E., Phelps R.R. The support functionals of a convex set // Proceedings of the Seventh Symposium in Pure Mathematics of the American Mathematical Society. Vol. 7. P. 27–35. doi: 10.1142/9789814415514_0020
14. DeMarr R. Partially ordered spaces and metric spaces // Am. Math. Mon. 1965. Vol. 72, no. 6. P. 628–631. doi: 10.2307/2313852
Поступила 22.10.2019
После доработки 15.11.2019
Принята к публикации 18.11.2019
Бенараб Сарра
аспирант
Тамбовский гос. университет им. Г.Р. Державина
г. Тамбов
e-mail: benarab.sarraa@gmail.com
Жуковский Евгений Семенович
д-р физ.мат. наук, профессор
директор НИИ
Тамбовский гос. университет им. Г.Р. Державина
г. Тамбов
e-mail: zukovskys@mail.ru
Мерчела Вассим
аспирант
Тамбовский гос. университет им. Г.Р. Державина
г. Тамбов
e-mail: merchela.wassim@gmail.com
Ссылка на статью: С. Бенараб, Е.С. Жуковский, В. Мерчела. Теоремы о возмущениях накрывающих отображений в пространствах с расстоянием и в пространствах с бинарным отношением // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2019. Т. 25, № 4. С. 52-63.
English
S. Benarab, E.S. Zhukovskii, W. Merchela. Theorems on perturbations of covering mappings in spaces with a distance and in spaces with a binary relation
Statements on the existence of solutions of special-type equations in spaces with a distance and in spaces with a binary relation are derived. The results obtained generalize the well-known theorems on coincidence points of a covering and a Lipschitz mappings and on Lipschitz perturbations of covering mappings in metric spaces as well as the theorems on coincidence points of a covering and an isotonic mappings and on antitone perturbations of covering mappings in partially ordered spaces. In the first part of the paper, we consider a mapping $F\colon X\times X \to Y$, where $X$ is a metric space and $Y$ is equipped with a distance satisfying only the identity axiom. "Weakened analogs" of the notions of covering and Lipschitz mappings from $X$ to $Y$ are defined. Under the assumption that $F$ is covering in the first argument and Lipschitz in the second argument (in the sense of the definitions of these properties given in the paper), the existence of a solution $x$ to the equation $F(x,x)=y$ is established. It is shown that this statement yields conditions for the existence of a coincidence point of a covering and a Lipschitz mappings acting from $X$ to $Y$. In the second part of the paper, similar results are obtained in the case when $X$ is a partially ordered space and $Y$ is equipped with a reflexive binary relation (which is neither transitive nor antisymmetric). "Weakened analogs" of the notions of ordered covering and monotonicity of mappings from $X$ to $Y$ are defined. Under the assumption that $F$ is covering in the first argument and antitone in the second argument (in the sense of the definitions of these properties given in the paper), the existence of a solution $x$ to the equation $F(x,x)=y$ is established and conditions for the existence of a coincidence point of a covering and an isotone mappings acting from $X$ to $Y$ are deduced from this statement. In the third part, a connection between the obtained statements is established. Namely, it is proved that the theorem on the solvability of an operator equation in spaces with a binary relation implies a similar theorem in spaces with a distance and, accordingly, the statements on coincidence points.
Keywords: metric space, ordered space, covering mapping, Lipschitz mapping, monotone mapping
Received October 22, 2019
Revised November 15, 2019
Accepted November 18, 2019
Funding Agency: This work was supported by the Russian Foundation for Basic Research (projects no. 17-01-00553, no. 17-41-680975, no. 17-51-12064).
Sarra Benarab, doctoral student, Derzhavin Tambov State University, Tambov, 392000 Russia, e-mail: benarab.sarraa@gmail.com
Evgeny Semenovich Zhukovskiy, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Derzhavin Tambov State University, Tambov, 392000 Russia, e-mail: zukovskys@mail.ru
Wassim Merchela, doctoral student, Derzhavin Tambov State University, Tambov, 392000 Russia, e-mail: merchela.wassim@gmail.com
Cite this article as: S.Benarab, E.S.Zhukovskii, W.Merchela. Theorems on perturbations of covering mappings in spaces with a distance and in spaces with a binary relation, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki URO RAN, 2019, vol. 25, no. 4, pp. 52–63.