Б.Е. Дураков. О некоторых группах 2-ранга один ... С. 64-68

УДК 512.54

MSC: 20F50, 20E28

DOI: 10.21538/0134-4889-2019-25-4-64-68

Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта № 19-01-00566 A.

Полный текст статьи (Full text)

Статья переведена: ISSN 0081-5438 

Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 2021, Vol. 313, Suppl. 1, pp. S54–S57. (Abstract)

Строение конечных групп 2-ранга 1 во многом определяется классическими теоремами Бернсайда и Брауэра - Судзуки. Бернсайд доказал, что в каждой конечной группе с циклической силовской 2-подгруппой все элементы нечетного порядка составляют нормальную подгруппу. С.И. Адян показал, что в классе периодических групп аналогичное утверждение неверно даже в случае, когда силовская 2-подгруппа имеет порядок 2 и совпадает с центром группы. Результаты Бернсайда, Брауэра и Судзуки можно сформулировать в виде одной теоремы: в конечной группе $G$ 2-ранга 1 образ любой инволюции в фактор-группе $G/O(G)$ лежит в центре этой фактор-группы. Неизвестно, справедливо ли аналогичное утверждение, если $G$ - периодическая группа (вопрос 4.75 В.П. Шункова из "Коуровской тетради"). Ответ неизвестен даже в случае, когда централизатор инволюции $i$ - локально циклическая группа (вопрос 15.54 В.Д. Мазурова из "Коуровской тетради"). В теореме 1 статьи приводится частичный положительный ответ на вопрос 4.75 при дополнительном условии: в группе $G$ инволюция $i$ порождает с каждым элементов порядка, не делящегося на 4, конечную подгруппу. В частности, вопрос 4.75 решается положительно в классе бинарно конечных и сопряженно бинарно конечных групп. В теореме 2 статьи исследуется строение не локально конечной группы $G$ с конечной инволюцией и инволюцией $i$, централизатор которой - локально циклическая 2-группа. Инволюция $i$ группы $G$ называется конечной, если для каждого $g \in G$ подгруппа $\langle i, i^g \rangle$ конечна. В частности, теорема 2 определяет структуру контрпримера (в предположении его существования) к вопросу 15.54.

Ключевые слова: группа 2-ранга 1, периодическая группа, локально конечная группа, конечная инволюция

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Созутов А.И., Сучков Н.М., Сучкова Н.Г. Бесконечные группы с инволюциями. Красноярск: Изд-во Сиб. федер. ун-та, 2011. 149 с.

2.   Горенстейн Д. Конечные простые группы. Москва: Мир, 1985. 352 с.

3.   Brauer R., Suzuki M. On finite groups of even order whose 2-Sylow group is a quaternion group // Proc. Natl. Acad. Sci. USA. 1959. Vol. 45, no. 12. P. 1757–1759. doi: 10.1073/pnas.45.12.1757 

4.   Unsolved problems in group theory. The Kourovka Notebook / eds. E.I. Khukhro, V.D. Mazurov: [e-resource]. 248 p. Available at: ArXiv:1401.0300v13 [math.GR] June 2018

5.   Сучков Н.М. О конечности некоторых точно дважды транзитивных групп // Алгебра и логика. 2001. Vol. 40, № 3. C. 190–193.

6.   Созутов А.И. О группах с квазициклическим централизатором конечной инволюции // Сиб. мат. журн. 2016. Vol. 57, no. 5. C. 1127–1130.

7.   Созутов А.И. О некоторых бесконечных группах с сильно вложенной подгруппой // Алгебра и логика. 2000. Vol. 39, № 5. С. 602–617.

8.   Попов А.М., Созутов А.И., Шунков В.П. Группы с системами фробениусовых подгрупп. Красноярск: ИПЦ Краснояр. гос. техн. ун-та, 2004. 211 с.

9.   Холл М. Теория групп. Москва: ИЛ, 1962. 468 с.

10.   Винберг Э.Б. Курс алгебры. 2-е изд., испр. и доп. Москва: Факториал Пресс, 2001. 544 с.

11.   Курош А.Г. Теория групп. 3-е изд. Москва: Наука, 1967. 648 с.

12.   Беляев В.В. Группы с почти регулярной инволюцией // Алгебра и логика. 1987. Vol. 26, no. 5. С. 531–535.

Поступила 5.08.2019

После доработки 26.09.2019

Принята к публикации 30.09.2019

Дураков Борис Евгеньевич
аспирант
Институт математики и фундаментальной информатики,
Сибирский федеральный университет
г. Красноярск
e-mail: durakov96@gmail.com

Ссылка на статью: Б.Е. Дураков. О некоторых группах 2-ранга 1 // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2019. Т. 25, № 4. С. 64-68.

English

B.E. Durakov. On some groups of 2-rank 1

The structure of finite groups of 2-rank 1 is largely defined by the classical Burnside and Brauer-Suzuki theorems. Burnside proved that all elements of odd order of a finite group with a cyclic 2-Sylow subgroup form a normal subgroup. S.I. Adyan showed that this statement does not hold in the class of periodic groups even in the case when a Sylow 2-subgroup has order 2 and coincides with the center of the group. The results of Burnside, Brauer, and Suzuki can be formulated as one theorem: in a finite group $G$ of 2-rank 1, the image of any involution in the quotient group $G/O(G)$ lies in the center of this quotient group. It is unknown whether the same statement holds for a periodic group $G$ (V.P. Shunkov's Question 4.75 from the "Kourovka Notebook"). There is no answer even when the centralizer of the involution $i$ is a locally cyclic group (V.D. Mazurov's Question 15.54 from the "Kourovka Notebook"). In Theorem 1, we give a partial affirmative answer to Question 4.75 under an additional condition: in the group $G$ an involution $i$ generates a finite subgroup with any element of order not divisible by 4. In particular, Question 4.75 is solved positively in the classes of binary finite and conjugate binary finite groups. In Theorem 2, we study the structure of a nonlocally finite group $G$ with a finite involution and an involution $i$ whose centralizer is a locally cyclic 2-group. An involution $i$ of a group $G$ is called  finite  if the subgroup $\langle i,i^g \rangle$ is finite for every $g\in G$. In particular, Theorem 2 defines the structure of a counterexample (under the assumption of its existence) to Question 15.54.

Keywords: group of 2-rank 1, periodic group, locally finite group, finite involution

Received August 5, 2019

Revised September 26, 2019

Accepted September 30, 2019

Funding Agency: This work was supported by the Russian Foundation for Basic Research (project no. 19-01-00566 A).

Boris Evgenievich Durakov, doctoral student, Institute of Mathematics and Computer Science of the Siberian Federal University, Krasnoyarsk, 660041 Russia, e-mail: durakov96@gmail.com

Cite this article as: B.E.Durakov. On some groups of 2-rank one, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki URO RAN, 2019, vol. 25, no. 4, pp. 64–68; Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics (Suppl.), 2021, Vol. 313, Suppl. 1, pp. S54–S57.