Н.Н. Петров, А.Я. Нарманов. Многократная поимка заданного числа убегающих в задаче с дробными производными и простой матрицей ... С. 188-199

УДК 517.977

MSC: 49N79, 49N70, 91A24

DOI: 10.21538/0134-4889-2019-25-3-188-199

Полный текст статьи (Full text)

Работа первого автора поддержана РФФИ (проект 18-51-41005), второго автора - грантом MRU-10/17.

В конечномерном евклидовом пространстве рассматривается  задача преследования группой преследователей группы убегающих  с равными возможностями всех участников, описываемая системой вида
\begin{gather*}
D^{(\alpha)}z_{ij} = a z_{ij} + u_i - v_j,   \ u_i, v_j \in V,
\end{gather*}
где $D^{(\alpha)}f$ - производная по Капуто порядка $\alpha $ функции $f.$ Множество допустимых управлений $V$ - строго выпуклый компакт, $a$ - вещественное число. Целью группы преследователей является  поимка не менее $q$ убегающих, причем каждого убегающего должны поймать не менее чем $r$ различных преследователей, при этом моменты поимки могут не совпадать. Терминальные множества - начало координат. В предположении, что убегающие используют программные стратегии, а каждый преследователь ловит не более одного убегающего, в терминах начальных позиций получены  достаточные условия разрешимости задачи преследования. При исследовании в качестве базового используется метод разрешающих функций, позволяющий получить достаточные условия разрешимости задачи сближения c одним убегающим за некоторое гарантированное время. Для доказательства основного результата используется теорема Холла о системе различных представителей.

Ключевые слова: дифференциальная игра, групповое преследование, многократная поимка, преследователь, убегающий, дробная производная

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Красовский Н.Н., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1974. 456 с.

2.   Чикрий A.A. Конфликтно управлямые процессы. Киев: Наук. думка, 1992. 384 с.

3.   Григоренко Н.Л. Математические методы управления несколькими динамическими процессами. М.: Изд-во МГУ, 1990. 197 c.

4.   Благодатских А.И., Петров Н.Н. Конфликтное взаимодействие групп управляемых объектов. Ижевск: Изд-во Удмурт. ун-та, 2009. 266 с.

5.   Эйдельман С.Д., Чикрий А.А. Динамические задачи сближения для уравнений дробного порядка// Укр. мат. журн. 2000. Т. 52. № 11. С. 1566–1583.

6.   Чикрий А.А., Матичин И.И. Игровые задачи для линейных систем дробного порядка// Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2009. Т. 15. № 3. С. 262–278.

7.   Пшеничный Б.Н. Простое преследование несколькими объектами // Кибернетика. 1976. № 3. C. 145–146.

8.   Григоренко Н.Л. Игра простого преследования-убегания группы преследователей и одного убегающего // Вестн. МГУ. Сер. вычислит. математика и кибернетика. 1983. № 1. C. 41–47.

9.   Петров Н.Н., Прокопенко В.А. Об одной задаче преследования группы убегающих //Дифференц. уравнения. 1987. Т. 23, № 4. С. 724–726.

10.   Сахаров Д.В. О двух дифференциальных играх простого группового преследования // Вестн. Удмурт. ун-та. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2012. № 1. С. 50–59.

11.   Благодатских А.И. Одновременная многократная поимка в задаче простого преследования // Прикл. математика и механика. 2009. Т. 73, вып. 1. C. 54–59.

12.   Петров Н.Н. Многократная поимка в примере Л. С. Понтрягина с фазовыми ограничениями // Прикл. математика и механика. 1997. Т. 61, вып. 5. C. 747–754.

13.   Петров Н.Н., Соловьева Н.А. Многократная поимка в рекуррентном примере Л. С. Понтрягина // Автоматика и телемеханика. 2016. № 5. С. 128–135.

14.   Благодатских А.И. Одновременная многократная поимка в конфликтно управляемом процессе // Прикл. математика и механика. 2013. Т. 77, вып. 3. C. 433–440.

15.   Петров Н.Н. Многократная поимка в одной задаче группового преследования с дробными производными // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2018. Т. 24, № 1. С. 156–164.

16.   Петров Н.Н., Соловьева Н.А. К задаче группового преследования в линейных рекуррентных дифференциальных играх // Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры. 2016. Т. 132. С. 81–85.

17.   Петров Н.Н. Об одной задаче преследования группы убегающих // Автоматика и телемеханика. 1996. №. 6. С. 48–54.

18.   Петров Н.Н., Нарманов А.Я. Многократная поимка заданного числа убегающих в задаче простого преследования// Вестн. Удмурт. ун-та. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2018. Т. 28, вып. 2. С. 193–198.

19.   Caputo M. Linear model of dissipation whose q is almost frequency independent-II // Geophys. R. Astr. Soc. 1967. No. 13. P. 529–539.

20.   Чикрий А.А., Матичин И.И. Об аналоге формулы Коши для линейных систем произвольного дробного порядка// Доповiдi Нацiональноi академii наук Украiни. 2007. № 1. C. 50–55.

21.   Джрбашян М.М. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области. М.: Наука, 1966.

22.   Попов А.Ю., Седлецкий А.М. Распределение корней функции Миттаг — Леффлера // Современная математика. Фундаментальные направления. 2011. Т. 40. С. 3–171.

23.   Холл М. Комбинаторика. М.: Мир. 1970. 424 с.

Поступила 6.05.2019

После доработки 19.06.2019

Принята к публикации 24.06.2019

Петров Николай Никандрович
д-р физ.-мат. наук, профессор
директор
Институт математики, информационных технологий и физики,
Удмуртский государственный университет, г. Ижевск
e-mail: kma3@list.ru

Нарманов Абдигаппар Якубович
д-р физ.-мат. наук, профессор
профеcсор кафедры геометрии
Национальный университет Узбекистана им. Мирзо Улугбека, г. Ташкент
e-mail: narmanov@yandex.ru

Ссылка на статью: Н.Н. Петров, А.Я. Нарманов. Многократная поимка заданного числа убегающих в задаче с дробными производными и простой матрицей // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2019. Т. 25, № 3. С. 188-199.

English

N.N. Petrov, A.Ya. Narmanov. Multiple capture of a given number of evaders in a problem with fractional derivatives and a simple matrix

A problem of pursuing a group of evaders by a group of pursuers with equal capabilities of all the participants is considered in a finite-dimensional Euclidean space. The system is described by the equation
\begin{gather*}
D^{(\alpha)}z_{ij}=az_{ij}+u_i-v_j, \ \ u_i, v_j \in V,
\end{gather*}
where $D^{(\alpha)}f$ is the Caputo fractional derivative of order $\alpha$ of the function $f$, the set of admissible controls $V$ is strictly convex and compact, and $a$ is a real number. The aim of the group of pursuers is to capture at least $q$ evaders; each evader must be captured by at least $r$ different pursuers, and the capture moments may be different. The terminal sets are the origin. Assuming that the evaders use program strategies and each pursuer captures at most one evader, we obtain sufficient conditions for the solvability of the pursuit problem in terms of the initial positions. Using the method of resolving functions as a basic research tool, we derive sufficient conditions for the solvability of the approach problem with one evader in some guaranteed time. Hall's theorem on a system of distinct representatives is used in the proof of the main theorem.

Keywords: differential game, group pursuit, multiple capture, pursuer, evader, fractional derivative

Received May 6, 2019

Revised June 19, 2019

Accepted June 24, 2019

Funding Agency: The research of the first and second authors was supported by the Russian Federation for Basic Research (project no. 18-51-41005) and by Grant MRU-10-17 (Uzbekistan), respectively.

Nikolai Nikandrovich Petrov, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Udmurt State University, Izhevsk, 426034 Russia, e-mail: kma3@list.ru

Abdigappar Yakubovich Narmanov, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., National University of Uzbekistan, Tashkent, 100174 Uzbekistan, e-mail: narmanov@yandex.ru

Cite this article as: N.N. Petrov, A.Ya. Narmanov. Multiple capture of a given number of evaders in a problem with fractional derivatives and a simple matrix, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki URO RAN, 2019, vol. 25, no. 3, pp. 188–199.