В.С. Пацко, А.А. Федотов. Структура множества достижимости для машины Дубинса со строго односторонним поворотом ... С. 171-187

УДК 517.977

MSC: 93C15, 93B03, 49J15

DOI: 10.21538/0134-4889-2019-25-3-171-187

Полный текст статьи (Full text)

Исследуется структура трехмерного множества достижимости в момент для нелинейной управляемой системы, которую часто называют машина Дубинса. Управляемый объект движется на плоскости с постоянной по величине линейной скоростью и ограниченным радиусом поворота. Изучается случай, когда поворот возможен только в одну сторону, причем движение по прямой исключено в силу заданных ограничений на управление. С использованием принципа максимума Понтрягина получены варианты управлений, ведущих на границу множества достижимости. Рассматриваются сечения трехмерного множества достижимости по угловой координате. Дано аналитическое описание границ таких сечений в виде набора гладких дуг. Перечисляются все возможные варианты структуры сечений. Каждая дуга определяется некоторым типом кусочно-постоянного управления, удовлетворяющего принципу максимума. Доказывается строгая выпуклость сечений по угловой координате. Проведен анализ гладкости границы таких сечений.

Ключевые слова: машина Дубинса, строго односторонний поворот, структура трехмерного множества достижимости, принцип максимума Понтрягина, кусочно-постоянные управления, строгая выпуклость сечений множества достижимости по угловой координате

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Dubins L.E. On curves of minimal length with a constraint on average curvature and with prescribed initial and terminal positions and tangents // American J. Math. 1957. Vol. 79, no. 3. P. 497–516. doi: 10.2307/2372560 

2.   Laumond J.-P. (ed.) Robot motion planning and control. Berlin; Heidelberg: Springer-Verlag, 1998. 354 p. (Lecture Notes in Control and Information Sciences; vol. 229). ISBN: 978-3-540-76219-5 .

3.   Пацко В.С., Пятко С.Г., Федотов А.А. Трехмерное множество достижимости нелинейной управляемой системы // Известия РАН. ТиСУ. 2003. № 3. С. 8–16.

4.   Fedotov A., Patsko V., Turova V. Reachable sets for simple models of car motion // Recent Advances in Mobile Robotics  ed. A. V. Topalov. Rijeka, Croatia: InTech, 2011. P. 147–172. doi: 10.5772/26278 

5.   Patsko V.S., Fedotov A.A. Investigation of reachable set at instant for the Dubins’ car // Proc. 58th Israel Annual Conf. Aerospace Sci. (Tel-Aviv & Haifa, 2018). Haifa, 2018. P. 1655–1669. ISBN: 9781510851399.

6.   Choi H. Time-optimal paths for a Dubins car and Dubins airplane with a unidirectional turning constraint: Dissertation for the degree of Doctor of Philosophy / University of Michigan. Michigan, 2014. 134 p.

7.   Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В. и др. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1969. 384 с.

8.   Ли Э.Б., Маркус Л. Основы теории оптимального управления. М.: Наука, 1972. 576 с.

9.   Patsko V.S., Fedotov A.A. Attainability set at instant for one-side turning Dubins car // Proc. 17th IFAC Workshop Control Appl. Optim. Yekaterinburg, 2018. P. 201–206. doi: 10.1016/j.ifacol.2018.11.381 

Поступила 8.05.2019

После доработки 22.07.2019

Принята к публикации 5.08.2019

Пацко Валерий Семенович
 канд. физ.-мат. наук, ведущий науч.сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н.Красовского УрО РАН;
Уральский федеральный университет
г. Екатеринбург
e-mail: patsko@imm.uran.ru

Федотов Андрей Анатольевич
канд. физ.-мат. наук, старший науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н.Красовского УрО РАН
г. Екатеринбург
e-mail: andreyfedotov@mail.ru

Ссылка на статью: В.С. Пацко,  А.А. Федотов. Структура множества достижимости для машины Дубинса со строго односторонним поворотом // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2019. Т. 25, № 3. С. 171-187.

English

V.S. Patsko, A.A. Fedotov. The structure of the reachable set for the Dubins car with a strictly one-sided turn

We study the structure of a three-dimensional reachable set “at instant” of the nonlinear control system often called the “Dubins car.” A controlled vehicle moves in the plane with constant speed and bounded turning radius. We consider the case where the object can turn to one side only and the rectilinear motion is forbidden by given control constraints. Based on the Pontryagin maximum principle, we obtain variants of controls leading to the boundary of the reachable set. Sections of the three-dimensional reachable set along the angular coordinate are considered. The boundaries of such sections are described analytically in the form of sets of smooth arcs. The paper lists all possible options for the structure of the sections. Each arc is defined by a certain type of piecewise constant control satisfying the maximum principle. The strict convexity of the sections along the angular coordinate is proved, and the smoothness of the boundary of the sections is analyzed.

Keywords: Dubins car, strictly one-sided turn, structure of a three-dimensional reachable set, Pontryagin maximum principle, piecewise constant control, strict convexity of sections of a reachable set along the angular coordinate

Received May 8, 2019

Revised July 22, 2019

Accepted August 5, 2019

Valerii Semenovich Patsko, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics, Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia; Ural Federal University, Yekaterinburg, 620002 Russia, e-mail: patsko@imm.uran.ru

Andrei Anatol’evich Fedotov, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics, Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia, e-mail: andreyfedotov@mail.ru

Cite this article as: V.S. Patsko, A.A. Fedotov. The structure of the reachable set for the Dubins car with a strictly one-sided turn, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki URO RAN, 2019, vol. 25, no. 3, pp. 171–187.