М.И. Зеликин, Ю.С. Осипов. Минимальные подмногообразия сфер и конусов ... С. 100-107

УДК 523.46/.481

MSC: 49Q05, 11R52

DOI: 10.21538/0134-4889-2019-25-3-100-107

Полный текст статьи (Full text)

Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект 17-01-00805).

В работе изучаются пересечения конусов нулевого индекса со сферами. Найдены поля соответствующих минимальных многообразий. В частности, рассмотрим конус $\mathbb{K} =\{x_0^2+x_1^2=x_2^2+x_3^2\}$. Его пересечение со сферой $\mathbb{S}^3=\sum_{i=0}^3x_i^2$ часто называют клиффордовым тором $\mathbb{T}$, потому что Клиффорд первым заметил, что метрика этого тора как подмногообразия $\mathbb{S}^3$ с индуцированной из $\mathbb{S}^3$  метрикой является евклидовой. Помимо этого тор $\mathbb{T}$, рассматриваемый как подмногообразие $\mathbb{S}^3$, является минимальной поверхностью. Аналогично можно рассмотреть конус $\mathcal{K} =\{\sum_{i=0}^3x_i^2=\sum_{i=4}^7x_i^2\}$, который часто называют конусом Саймонса, потому что он доказал, что $\mathcal{K}$ задает однозначную, негладкую, глобально определенную минимальную поверхность в $\mathbb{R}^8$, не являющуюся плоскостью. Оказывается, что пересечение $\mathcal{K}$ с семимерной сферой $\mathbb{S}^7$ также является, подобно тору Клиффорда, минимальной поверхностью в $\mathbb{S}^7$. Эти факты доказываются в статье с помощью техники кватернионов и алгебры Кэли.

Ключевые слова: минимальная поверхность, гауссова кривизна, кватернионы, октонионы (числа Кэли), поле экстремалей, функция Вейерштрасса

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Caratheodory C. $\ddot{\mathrm{U}}$ber die Variationsrechnung bei mehrfachen Integralen // Acta Szeged. 1929. Vol. 4. P. 193–216.

2.   Clifford W.K. On a surface of zero curvature and finite extent // Proc. London Math. Soc. 1873. Vol. 4. P. 381–395.

3.   Osipov Yu.S., Zelikin M.I. Multidimensional generalization of Jacobi envelope theorem // Russian J. Math. Phys. 2012. Vol. 19, no. 1. P. 101–106. doi: 10.1134/S1061920812010086 

4.   Постников М.М., Группы и алгебры Ли. Лекции по геометрии. Семестр V. Москва: Наука, 1982. 447 c.

5.   Simons J. Minimal varieties in Riemannian manifold // Ann. Math. 1969. Vol. 88. P. 62–105.

6.   Weyl H. Geodesic fields in the calculus of variations for multiple integrals // Ann. Math. 1935. Vol. 36. P. 607–629.

7.   Zelikin M.I. Theory of fields for multiple integrals // Russian Math. Surveys. 2011. Vol. 66, no. 4. P. 103–136. doi: 10.1070/RM2011v066n04ABEH004754 

Поступила 11.02.2019

После доработки 11.03.2019

Принята к публикации 18.03.2019

Зеликин Михаил Ильич
чл.-корр. РАН, профессор
Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова
г. Москва
e-mail: mzelikin@mtu-net.ru

Осипов Юрий Сергеевич
академик РАН, заведующий кафедрой
Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова
г. Москва
e-mail: fff@imm.uran.ru

Ссылка на статью: М.И. Зеликин, Ю.С. Осипов. Минимальные подмногообразия сфер и конусов // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2019. Т. 25, № 3. С. 100-107.

English

M.I. Zelikin, Yu.S. Osipov. Minimal submanifolds of spheres and cones

Intersections of cones of index zero with spheres are investigated. Fields of the corresponding minimal manifolds are found. In particular, we consider the cone $\mathbb{K} =\{x_0^2+x_1^2=x_2^2+x_3^2\}$. Its intersection with the sphere $\mathbb{S}^3=\sum_{i=0}^3x_i^2$ is often called the Clifford torus $\mathbb{T}$, because Clifford was the first to notice that the metric of this torus as a submanifold of $\mathbb{S}^3$ with the metric induced from $\mathbb{S}^3$ is Euclidian. In addition, the torus $\mathbb{T}$ considered as a submanifold of $\mathbb{S}^3$ is a minimal surface. Similarly, it is possible to consider the cone $\mathcal{K} =\{\sum_{i=0}^3x_i^2=\sum_{i=4}^7x_i^2\}$, often called the Simons cone because he proved that $\mathcal{K}$ specifies a single-valued nonsmooth globally defined minimal surface in $\mathbb{R}^8$ which is not a plane. It appears that the intersection of $\mathcal{K}$ with the sphere $\mathbb{S}^7$, like the Clifford torus, is a minimal submanifold of $\mathbb{S}^7$.  These facts are proved by using the technique of quaternions and the Cayley algebra.

Keywords: minimal surface, gaussian curvature, quaternions, octonions (Cayley numbers), field of extremals, Weierstrass function

Received February 11, 2019

Revised March 11, 2019

Accepted March 18, 2019

Funding Agency: This work was supported by the Russian Foundation for Basic Research (project no. 17-01-00805).

Yury Sergeyevich Osipov, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., RAS Academician, Lomonosov Moscow State University, Moscow 119991, Russia, e-mail: yriyosipov@hotmail.com

Mikhail Ilyich Zelikin, Dr. Phys.-Math. Sci, Prof., RAS Corresponding Member, Lomonosov Moscow State University, Moscow 119991, Russia, e-mail: mzelikin@mtu-net.ru

Cite this article as: M.I. Zelikin, Yu.S. Osipov. Minimal submanifolds of spheres and cones, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki URO RAN, 2019, vol. 25, no. 3, pp. 100–107.