М.И. Гусев, И.О. Осипов. Асимптотическое поведение множеств достижимости на малых временных промежутках ... С. 86-99

УДК 517.977.1

MSC: 93B03

DOI: 10.21538/0134-4889-2019-25-3-86-99

Полный текст статьи (Full text)

Геометрическая структура множеств достижимости на малых временных промежутках играет важную роль в теории управления, в частности при решении задач локального синтеза. В данной работе рассматривается задача приближенного описания множеств достижимости на малых временах для аффинных по управлению систем с интегральными квадратичными ограничениями на управление. Используя замену времени, авторы вместо исходного множества рассматривают множество достижимости для управляемой системы на единичном интервале, содержащей малый параметр (длину временного интервала для исходной системы). При этом ограничения на управление заданы шаром малого радиуса в гильбертовом пространстве $\mathbb{L}_2$. При определенных условиях, накладываемых  на грамиан управляемости линеаризованной системы, такое множество достижимости оказывается выпуклым при достаточно малом значении параметра. В работе показано, что в этом случае множество достижимости асимптотически близко по форме к эллипсоиду в пространстве состояний. Доказательство данного факта базируется на представлении множества достижимости в виде образа гильбертова шара малого радиуса в $\mathbb{L}_2$ при нелинейном отображении его в  $\mathbb{R}^n$.  В частности, данное асимптотическое представление имеет место для достаточно широкого класса нелинейных управляемых систем второго порядка с интегральными ограничениями. В статье приведены три примера систем, множества достижимости которых демонстрируют как наличие указанного асимптотического поведения, так и отсутствие последнего при невыполнении нужных условий.

Ключевые слова: управляемая система,  интегральные ограничения, множество достижимости, выпуклость, асимптотика

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Красовский Н.Н. Теория управления движением. М.: Наука, 1968. 476 с.

2.   Куржанский А.Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. М.: Наука, 1977. 392 с.

3.   Guseinov Kh.G., Nazlipinar A.S. Attainable sets of the control system with limited resources // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2010. Т. 16, № 5. С. 261–268

4.   Guseinov K.G., Ozer O., Akyar E., Ushakov V.N. The approximation of reachable sets of control systems with integral constraint on controls // Nonlinear Diff. Eq. Appl. 2007. Vol. 14, no. 1-2. P. 57–73. doi: 10.1007/s00030-006-4036-6 

5.   Gusev M.I., Zykov I.V. On extremal properties of boundary points of reachable sets for a system with integrally constrained control // IFAC PapersOnline. 2017. Vol. 50, iss. 1. P. 4082–4087. doi: 10.1016/j.ifacol.2017.08.792 

6.   Krener A., Sch$\ddot{\mathrm{a}}$ttler H. The structure of small-time reachable sets in low dimensions // SIAM J. Control Optim. 1989. Vol. 27, no. 1. P. 120–147. doi: 10.1137/0327008 

7.   Sch$\ddot{\mathrm{a}}$ttler, H. Small-time reachable sets and time-optimal feedback control // Nonsmooth Analysis and Geometric Methods in Deterministic Optimal Control / eds. B.S. Mordukhovich, H.J. Sussmann. N Y: Springer, 1996. Vol. 78. P. 203–225. (The IMA Volumes in Mathematics and Its Applications.) https://doi.org/10.1007/978-1-4613-8489-2_9 

8.   Polyak B.T. Сonvexity of the reachable set of nonlinear systems under $L_2$ bounded controls // Dynamics of Continuous, Discrete and Impulsive Systems. Series A: Math. Anal. 2004. Vol. 11. P. 255–267.

9.   Райсиг Г. Выпуклость множеств достижимости систем управления // Автоматика и телемеханика. 2007. № 9. С. 64–78.

10.   Goncharova E., Ovseevich A. Small-time reachable sets of linear systems with integral control constraints: birth of the shape of a reachable set // J. Optim. Theory Appl. 2016. Vol. 168 (2). P. 615–624. doi: 10.1007/s10957-015-0754-4 

11.   Gusev M.I. On convexity of reachable sets of a nonlinear system under integral constraints // IFAC-PapersOnLine. 2018. Vol. 51, iss. 32. P. 207–212. doi: 10.1016/j.ifacol.2018.11.382 

12.   Поляк Б.Т. Локальное программирование // Журн. вычисл. математки и мат. физики. 2001. Т. 41, № 9. С. 1324–1331.

13.   Gusev M.I. Estimates of the minimal eigenvalue of the controllability Gramian for a system containing a small parameter // Mathematical Optimization Theory and Operations Research. 2019. Vol. 11548. P. 461–473. (Lecture Notes in Computer Science.) doi: 10.1007/978-3-030-22629-9_32 

14.   Зыков И.В. О внешних оценках множеств достижимости управляемых систем с интегральными ограничениями // Изв. Ин-та математики и информатики УдГУ. 2019. Т. 53. C. 61–72. doi: 10.20537/2226-3594-2019-53-06 

15.   Ли Э.Б., Маркус Л. Основы теории оптимального управления. М.: Наука, 1972. 576 c.

16.   Cockayne E.J., Hall G.W.C. Plane motion of a particle subject to curvature constraints // SIAM J. Control. 1975. Vol. 13, no. 1. P. 197–220. doi: 10.1137/0313012 

17.   Бердышев Ю.И. Нелинейные задачи последовательного управления и их приложение / ИММ УрО РАН. Екатеринбург, 2015. 193 с.

18.   Пацко В.С., Пятко С.Г., Федотов А.А. Трехмерное множество достижимости нелинейной управляемой системы // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2003. № 3. С. 8–16.

Поступила 7.07.2019

После доработки 12.07.2019

Принята к публикации 5.08.2019

Гусев Михаил Иванович
д-р физ.-мат. наук, ведущий науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН;
ведущий науч. сотрудник
Уральский федеральный университет
г. Екатеринбург
e-mail: gmi@imm.uran.ru

Осипов Иван Олегович
аспирант
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН
г. Екатеринбург
e-mail: 79193053374@yandex.ru

Ссылка на статью: М.И. Гусев, И.О. Осипов. Асимптотическое поведение множеств достижимости на малых временных промежутках // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2019. Т. 25, № 3. С. 86-99.

English

M.I. Gusev, I.O. Osipov. Asymptotic behavior of reachable sets on small time intervals

The geometric structure of small-time reachable sets plays an important role in control theory, in particular, in solving problems of local synthesis. In this paper, we consider the problem of approximate description of reachable sets on small time intervals for control-affine systems with integral quadratic constraints on the control. Using a time substitution, we replace such a set by the reachable set on a unit interval of a control system with a small parameter, which is the length of the time interval for the original system. The constraints on the control are given by a ball of small radius in the Hilbert space $\mathbb {L}_2$. Under certain conditions imposed on the controllability Gramian of the linearized system, this reachable set turns out to be convex for sufficiently small values of the parameter. We show that in this case the shape of the reachable set in the state space is asymptotically close to an ellipsoid. The proof of this fact is based on the representation of the reachable set as the image of a Hilbert ball of small radius in $\mathbb {L}_2$ under a nonlinear mapping to $\mathbb {R}^n$. In particular, this asymptotic representation holds for a fairly wide class of second-order nonlinear control systems with integral constraints. We give three examples of systems whose reachable sets demonstrate both the presence of the indicated asymptotic behavior and the absence of the latter if the necessary conditions are not satisfied.

Keywords: control system, integral constraints, reachable set, convexity, asymptotics

Received July 7, 2019

Revised July 12, 2019

Accepted August 5, 2019

Mikhail Ivanovich Gusev, Dr. Phys.-Math. Sci., Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics, Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia; Prof., Ural Federal University, Yekaterinburg, 620083 Russia, e-mail: gmi@imm.uran.ru

Ivan Olegovich Osipov, doctoral student, Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics, Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia, e-mail: 79193053374@yandex.ru

Cite this article as: M.I. Gusev, I.O. Osipov. Asymptotic behavior of reachable sets on small time intervals, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki URO RAN, 2019, vol. 25, no. 3, pp. 86–99.