А.Р. Данилин, О.О. Коврижных. Асимптотика решения сингулярно возмущенной задачи быстродействия с двумя малыми параметрами ... С. 88-101

УДК 517.977

MSC: 93C70, 49N05

DOI: 10.21538/0134-4889-2019-25-2-88-101

Работа выполнена при частичной поддержке Программы повышения конкурентоспособности ведущих университетов РФ (Соглашение с Минобрнауки РФ 02.А03.21.0006 от 27 августа 2013 г.).

Настоящая работа является продолжением исследования авторов и посвящена  задаче оптимального быстродействия для сингулярно возмущенной линейной автономной системы с двумя независимыми малыми параметрами и гладкими геометрическими ограничениями на управление в виде шара
$$
\left\{
 \begin{array}{llll}
 \phantom{\Ge^3}\dot{x}=y,\,& x,\,y\in \mathbb{R}^{2},\quad u\in \mathbb{R}^{2},\\[1ex]
 \varepsilon^3\dot{y}=Jy+u,&\,\|u\|\leqslant 1,\quad 0<\varepsilon,\mu\ll 1,\\[1ex]
 x(0)=x_0(\varepsilon,\mu)=(x_{0,1}, \varepsilon^3\mu\xi)^*,\quad y(0)=y_0,\\[1ex]
 x(T_{\varepsilon, \mu})=0,\quad y(T_{\varepsilon, \mu})=0,\quad T_{\varepsilon, \mu} \longrightarrow \min,&
 \end{array}
 \right.
$$
где
$$
 J=\left(\begin{array}{rr} 0&1 \\
 0&0\end{array}\right).\qquad
$$
Основное отличие от ранее рассмотренных систем с быстрыми и медленными переменными заключается в том, что в данном случае матрица $J$ при быстрых переменных представляет собой жорданову клетку второго порядка с нулевым собственным числом и тем самым не удовлетворяет стандартному условию асимптотической устойчивости. Кроме того, рассмотрены начальные условия, зависящие от второго малого параметра $\mu$. Получена и обоснована полная асимптотика времени быстродействия и оптимального управления в смысле Эрдейи по асимптотической последовательности $\varepsilon^\gamma(\varepsilon^k+\mu^k)$, $0<\gamma<1$.

Ключевые слова: оптимальное управление, задача быстродействия, асимптотическое разложение, сингулярно возмущенная задача, малый параметр.
 

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Понтрягин  Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Физматгиз, 1961. 391 c.

2.   Дмитриев М.Г., Курина Г.А. Сингулярные возмущения в задачах управления // Автоматика и телемеханика. 2006. №. 1. С. 3–51.

3.   Kokotovic P.V., Haddad A.H. Controllability and time-optimal control of systems with slow and fast modes // IEEE Trans. Automat. Control. 1975. Vol. 20, no. 1. P. 111–113. doi: 10.1109/TAC.1975.1100852 

4.   Дончев А. Системы оптимального управления: Возмущения, приближения и анализ чувствительности. М.: Мир, 1987. 156 c.

5.   Гичев Т.Р., Дончев А.Л. Сходимость решения линейной сингулярно возмущенной задачи быстродействия // Прикл. математика и механика. 1979. Т. 43, № 3. С. 466–474.

6.   Данилин А.Р., Ильин А.М. О структуре решения одной возмущенной задачи быстродействия // Фундамент. и прикл. математика. 1998. Т. 4, № 3. С. 905–926.

7.   Данилин А.Р., Парышева Ю.В. Асимптотика оптимального значения функционала качества в линейной задаче оптимального управления // Докл. АН. 2009. Т. 427, № 2. С. 151–154.

8.   Шабуров А.А. Асимптотическое разложение решения сингулярно возмущенной задачи оптимального управления с интегральным выпуклым критерием качества и гладкими геометрическими ограничениями на управление // Изв. Ин-та математики и информатики Удмурт. гос. ун-та. 2017. Т. 50, № 2. С. 110–120.

9.   Данилин А.Р., Коврижных О.О. О зависимости задачи быстродействия для линейной системы от двух малых параметров // Вест. ЧелГУ. 2011. № 27. С. 46–60. (Математика, механика, информатика; вып. 14.)

10.   Данилин А.Р., Коврижных О.О. О задаче управления точкой малой массы в среде без сопротивления // Докл. АН. 2013. Т. 451, № 6. С. 612–614.

11.   Ли Э.Б., Маркус Л. Основы теории оптимального управления. М.: Наука, 1972. 576 c.

12.   Данилин А.Р. Асимптотика оптимального значения функционала качества при быстростабилизирующемся непрямом управлении в сингулярном случае // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2006. Т. 46, № 12. С. 2166–2177.

13.   Ильин А.М., Данилин А.Р. Асимптотические методы в анализе. М.: Физматлит, 2009. 248 с. ISBN: 978-5-9221-1056-3 .

14.   Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1984. 752 c.

Поступила 10.01.2019

После доработки 4.02.2019

Принята к публикации 11.02.2019

Данилин Алексей Руфимович
д-р физ.-мат. наук, профессор,
зав. отделом,
Институт математики и механики им. Н.Н.Красовского УрО РАН;
Уральский федеральный университет
г. Екатеринбург
e-mail: dar@imm.uran.ru

Коврижных Ольга Олеговна, канд. физ.-мат. наук, старший науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н.Красовского УрО РАН,
Уральский федеральный университет
г. Екатеринбург
e-mail: koo@imm.uran.ru

Ссылка на статью: А.Р. Данилин, О.О. Коврижных. Асимптотика решения сингулярно возмущенной  задачи быстродействия с двумя малыми параметрами // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2019. Т. 25, № 2. С. 88-101.

English

A.R. Danilin, O.O. Kovrizhnykh. Asymptotics of the solution to a singularly perturbed time-optimal control problem with two small parameters

The paper continues the author's previous studies. We consider a time-optimal control problem for a singularly perturbed linear autonomous system with two independent small parameters and smooth geometric constraints on the control in the form of a ball
$$ \left\{\begin{array}{llll} \phantom{\\varepsilon^3}\dot{x}=y,\,& x,\,y\in \mathbb{R}^{2},\quad u\in \mathbb{R}^{2},\\[1ex]
\varepsilon^3\dot{y}=Jy+u,&\,\|u\|\leqslant 1,\quad 0<\varepsilon,\mu\ll 1,\\[1ex] x(0)=x_0(\varepsilon,\mu)=(x_{0,1}, \varepsilon^3\mu\xi)^*,\quad y(0)=y_0,\\[1ex]
x(T_{\varepsilon,\mu})=0,\quad y(T_{\varepsilon,\mu})=0,\quad T_{\varepsilon,\mu} \longrightarrow \min,& \end{array} \right. $$
where
$$ J=\left(\begin{array}{rr} 0&1 \\ 0&0\end{array}\right).\qquad $$
The main difference of this case from the systems with fast and slow variables studied earlier is that here the matrix $J$ at the fast variables is the second-order Jordan block with zero eigenvalue and, thus, does not satisfy the standard asymptotic stability condition. Continuing the research, we consider initial conditions depending on the second small parameter $\mu$. We derive and justify a complete asymptotic expansion in the sense of Erdelyi of the optimal time and optimal control with respect to the asymptotic sequence $\varepsilon^\gamma(\varepsilon^k+\mu^k)$, $0<\gamma<1$.

Keywords: optimal control, time-optimal control problem, asymptotic expansion, singularly perturbed problem, small parameter

Received January 10, 2019

Revised February 4, 2019

Accepted February 11, 2019

Funding Agency: The second author was supported by the Russian Academic Excellence Project (agreement no. 02.A03.21.0006 of August 27, 2013, between the Ministry of Education and Science of the Russian Federation and Ural Federal University).

Aleksei Rufimovich Danilin, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia; Ural Federal University, Yekaterinburg, 620002 Russia, e-mail: dar@imm.uran.ru

Ol’ga Olegovna Kovrizhnykh, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia; Ural Federal University, Yekaterinburg, 620002 Russia, e-mail: koo@imm.uran.ru

Cite this article as: A.R.Danilin, O.O.Kovrizhnykh. Asymptotics of the solution to a singularly perturbed time-optimal control problem with two small parameters, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki URO RAN, 2019, vol. 25, no. 2, pp. 88–101.

[References -> on the "English" button bottom right]