Н.А. Ильясов. Многомерная версия неравенства типа Турана и его приложение к оценке равномерных модулей гладкости периодических функций ... С. 102-115

УДК 517.518.28 + 517.518.862

MSC: 42A10, 41A17, 41A25

DOI: 10.21538/0134-4889-2019-25-2-102-115

В статье приведены доказательства следующих утверждений.

Теорема 1. Пусть $m \ge 1,\ f\in L_1(\mathbb{T}^m),\ l,k\in \mathbb N,\ l> m,\ \rho=l-(k+m)$ и $\sum_{n=1}^{\infty}n^{m-1}\omega_{l}(f;d/n)_{1,m}<\infty$; тогда $f$ эквивалентна некоторой функции $\psi \in C(\mathbb{T}^m)$ и справедлива оценка

$(a)$ $\displaystyle \omega_{k}\Big(\psi;\frac{d}{n}\Big)_{\infty,m} \le C_{1}(k,l,m)\bigg\{\sum\limits_{\nu=n+1}^{\infty}\nu^{m-1}\omega_{l}\Big(f;\frac{d}{\nu}\Big)_{1,m}+\chi (\rho)n^{-k}\sum\limits_{\nu=1}^{n}\nu^{k+m-1}\omega_{l}\Big(f;\frac{d}{\nu}\Big)_{1,m}\bigg\},\quad  n\in \mathbb N,$

где $\omega_{l}(f;\delta)_{1,m}$ и $\omega_{k}(\psi;\delta)_{\infty,m}$ - соответственно полные модули гладкости $l$-го порядка функции $f$ и $k$-го порядка функции $\psi,\ \mathbb{T}^m=(-\pi,\pi]^{m},\ d=\pi m^{1/2},\ \chi(t)=0$ при $t\le 0$ и $\chi(t)=1$ при $t>0$.}

В случае $l=k+m\ (\Rightarrow \chi(\rho)=0)$ при доказательстве оценки $(a)$ существенная роль принадлежит неравенству

$(b)$ $\displaystyle n^{-k}\max\limits_{|\alpha|=k}\Big\|\frac{\partial^{|\alpha|}T_{n,\ldots,n;1}(f;x)}  {\partial x^{\alpha}}\Big\|_{\infty,m} \le C_{2}(k,m)n^{m}\omega_{k+m}\Big(f;\frac{d}{n+1}\Big)_{1,m},\quad n\in \mathbb N$,

где $T_{n,\ldots n;1}(f;x_{1},\ldots,x_{m})$ - полином наилучшего в метрике $L_{1}(\mathbb{T}^m)$ приближения функции $f$ порядка $n\in \mathbb N$ по переменной $x_{i}\ (i=\overline{1,m})$,\ $\alpha=(\alpha_{1},\ldots,\alpha_{m}),\ \alpha_{j} \in \mathbb Z_{+}\ (j=\overline{1,m}),$ - мультииндекс длины $|\alpha|=k$.

Неравенство $(b)$ доказывается привлечением многомерной версии неравенства типа Турана: для любого тригонометрического полинома $t_{n_{1},\ldots,n_{m}}(x_{1},\ldots,x_{m})$ порядка $n_{i} \in \mathbb N$ по переменной $x_{i}\ (i=\overline{1,m})$ справедливо неравенство

$(c)$ $\displaystyle \Big\|\frac{\partial^{k}t_{n_{1},\ldots,n_{m}}(x)}{\partial x^{\alpha}}\Big\|_{\infty,m} \le \Big(\frac{\pi}{2}\Big)^m \Big\|\frac{\partial^{k+m}t_{n_{1},\ldots,n_{m}}(x_{1},\ldots,x_{m})}{\partial x_{1}^{\alpha_{1}+1}\ldots\partial x_{m}^{\alpha_{m}+1}}\Big\|_{1,m}$,

которое непосредственно следует из аналогичного неравенства (полагаем $k=0$ в неравенстве $(c)$), но имеющего место при выполнении условий
$\frac{1}{2\pi}\displaystyle\int_{0}^{2\pi}t_{n_{1},\ldots,n_{i},\ldots,n_{m}}(x_{1},\ldots,x_{i}-y_{i},\ldots,x_{m})\, dy_{i}=0,$ $i=\overline{1,m}.$

Оценка $(a)$ является точной в смысле порядка на классе $H_{1,m}^l[\omega]=\{f\in L_1(\mathbb{T}^m):\ \omega_{l}(f;\delta)_{1,m} \le \omega (\delta)$,\ $\delta \in (0,d]\}$, где $\omega \in \Omega_l(0,d]$ - класс функций $\omega=\omega(\delta)$, определенных на $(0,d]$ и удовлетворяющих условиям: $0<\omega (\delta)\downarrow 0\ (\delta \downarrow 0)$ и $\delta^{-l} \omega (\delta)\downarrow (\delta \uparrow)$.

Теорема 2. Пусть $m\ge 1,\ l,k\in \mathbb N,\ l> m,\ \rho=l-(k+m),\ \omega \in \Omega_{l}(0,d]$ и $\sum_{n=1}^{\infty}n^{m-1}\omega(d/n)<\infty;$ тогда
$$
\sup\Big\{ \omega_{k} \Big(\psi;\frac{d}{n}\Big)_{\infty,m}:\ f\in H_{1,m}^{l} [\omega]\Big\} \asymp \sum_{\nu=n+1}^{\infty}\nu^{m-1}\omega\Big(\frac{d}{\nu}\Big) +\chi(\rho) n^{-k}\sum_{\nu=1}^{n}\nu^{k+m-1}\omega\Big(\frac{d}{\nu}\Big),\quad n\in \mathbb N,
$$
где $\psi$ обозначает соответствующую функцию из класса $C(\mathbb{T}^m)$, эквивалентную $f\in H_{1,m}^{l}[\omega]$.}

Ключевые слова: полный модуль гладкости, многомерная версия неравенства типа Турана, неравенства между модулями гладкости различных порядков в разных метриках, точное в смысле порядка неравенство  на классе

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Тиман А.Ф. Теория приближения функций действительного переменного. М.: Физматгиз, 1960. 624 с.

2.   Тиман М.Ф. О разностных свойствах функций многих переменных // Изв. АН СССР. Сер. математическая. 1969. Т. 33, № 3. С. 667–676.

3.   Ильясов Н.А. О порядке убывания равномерных модулей гладкости на классах функций $E_{p, m}[\varepsilon]$ // Мат. заметки. 2005. Т. 78, № 4. С. 519–536.

4.   Темиргалиев Н.Т. О связи теорем вложения с равномерной сходимостью кратных рядов Фурье // Мат. заметки. 1972. Т. 12, № 2. С. 139–148.

5.   Конюшков А.А. Наилучшие приближения тригонометрическими полиномами и коэффициенты Фурье // Мат. сб. 1958. Т. 44 (86), № 1. С. 53–84.

6.   Il’yasov N.A. On the order of magnitude of the uniform convergence of multiple trigonometric Fourier series with respect to cubes on the function classes $H_{p,m}^{l}[\omega]$ // Anal. Math. 2002. Vol. 28, no. 1. P. 25–42.

Поступила 18.03.2019

После доработки 15.05.2019

Принята к публикации 20.05.2019

Ильясов Ниязи Аладдин оглы
канд. физ.-мат. наук, доцент;
доцент кафедры математического анализа
Бакинский государственный университет, г. Баку
e-mail: niyazi.ilyasov@gmail.com

Ссылка на статью: Н.А. Ильясов.  Многомерная версия неравенства типа Турана  и его приложение к оценке равномерных модулей гладкости периодических функций // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2019. Т. 25, № 2. С. 102-115.

English

N.A. Il’yasov. Multivariate version of Turan’s type inequality and its applications to the estimation of uniform moduli of smoothness of periodic functions

The following results are proved in the paper.

Theorem 1. Let $m \ge 1,\ f\in L_1(\mathbb{T}^m),\ l,k\in \mathbb N,\ l> m,\ \rho=l-(k+m),$ and $\sum_{n=1}^{\infty}n^{m-1}\omega_{l}(f;d/n)_{1,m}<\infty$. Then $f$ is equivalent to some function $\psi\in C(\mathbb{T}^m)$ and

$(a)$  $\displaystyle \omega_{k}\Big(\psi;\frac{d}{n}\Big)_{\infty,m} \le C_{1}(k,l,m)\bigg\{\sum\limits_{\nu=n+1}^{\infty}\nu^{m-1}\omega_{l}\Big(f;\frac{d}{\nu}\Big)_{1,m}+\chi (\rho)n^{-k}\sum\limits_{\nu=1}^{n}\nu^{k+m-1}\omega_{l}\Big(f;\frac{d}{\nu}\Big)_{1,m}\bigg\},\quad n\in \mathbb N,$

where $\omega_{l}(f;\delta)_{1,m}$ is the $l$\,th-order complete modulus of smoothness of $f$, $\omega_{k}(\psi;\delta)_{\infty,m}$ is the $k$\,th-order complete modulus of smoothness of $\psi$, $\mathbb{T}^m=(-\pi,\pi]^{m}$, $d=\pi m^{1/2}$, $\chi(t)=0$ for $t\le 0$, and $\chi(t)=1$ for $t>0$.

In the case $l=k+m\ (\Rightarrow \chi(\rho)=0)$, the proof of estimate (a) relies substantially on the inequality

$(b)$  $\displaystyle n^{-k}\max\limits_{|\alpha|=k}\Big\|\frac{\partial^{|\alpha|}T_{n,\ldots,n;1}(f;x)}  {\partial x^{\alpha}}\Big\|_{\infty,m} \le C_{2}(k,m)n^{m}\omega_{k+m}\Big(f;\frac{d}{n+1}\Big)_{1,m},\quad n\in \mathbb N$,

 where $T_{n,\ldots,n;1}(f;x_{1},\ldots,x_{m})$ is a polynomial of best $L_{1}(\mathbb{T}^m)$-approximation to $f$ of order $n\in \mathbb N$ with respect to the variable $x_{i}$ $(i=\overline{1,m})$ and $\alpha=(\alpha_{1},\ldots,\alpha_{m})$, $\alpha_{j} \in \mathbb Z_{+}$ $(j=\overline{1,m})$, is a multiindex of length $|\alpha|=k$. Inequality (b) is proved by using a multivariate version of Turan's type inequality: for each trigonometric polynomial $t_{n_{1},\ldots,n_{m}}(x_{1},\ldots,x_{m})$ of order $n_{i} \in \mathbb N$ with respect to the variable $x_{i}$ $(i=\overline{1,m})$, we have the inequality

$(c)$   $\displaystyle \Big\|\frac{\partial^{k}t_{n_{1},\ldots,n_{m}}(x)}{\partial x^{\alpha}}\Big\|_{\infty,m} \le \Big(\frac{\pi}{2}\Big)^m \Big\|\frac{\partial^{k+m}t_{n_{1},\ldots,n_{m}}(x_{1},\ldots,x_{m})}{\partial x_{1}^{\alpha_{1}+1}\ldots\partial x_{m}^{\alpha_{m}+1}}\Big\|_{1,m},$

 which follows directly from a similar inequality (with $k=0$ in inequality $(c)$) but holds under the conditions
$\frac{1}{2\pi}\displaystyle\int\nolimits_{0}^{2\pi}t_{n_{1},\ldots,n_{i},\ldots,n_{m}}(x_{1},\ldots,x_{i}-y_{i},\ldots,x_{m})\, dy_{i}=0,$ $i=\overline{1,m}.$

Estimate (a) is order-sharp in the class $H_{1,m}^l[\omega]=\{f\in L_1(\mathbb{T}^m):\ \omega_{l}(f;\delta)_{1,m} \le \omega (\delta)$,\ $\delta \in (0,d]\}$,  where $\omega \in \Omega_{l}(0,d]$ is the class of functions $\omega =\omega (\delta)$ defined on $(0,d]$ and satisfying the conditions $0<\omega (\delta)\downarrow 0\ (\delta \downarrow 0)$ and $\delta^{-l}\omega(\delta)\downarrow(\delta\uparrow)$.

Theorem 2.  Let $m\ge 1,\ l,k\in \mathbb N,\ l>m,\ \rho =l-(k+m),\ \omega \in \Omega_{l}(0,d],$ and $\sum_{n=1}^{\infty}n^{m-1}\omega(d/n) <\infty$. Then
$$
\sup\Big\{ \omega_{k} \Big(\psi;\frac{d}{n}\Big)_{\infty,m}:\ f\in H_{1,m}^{l} [\omega]\Big\} \asymp \sum_{\nu=n+1}^{\infty}\nu^{m-1}\omega\Big(\frac{d}{\nu}\Big) +\chi(\rho) n^{-k}\sum_{\nu=1}^{n}\nu^{k+m-1}\omega\Big(\frac{d}{\nu}\Big),\quad n\in \mathbb N,
$$
where $\psi$ is the corresponding function from the class $C(\mathbb{T}^m)$ equivalent to $f\in H_{1,m}^{l}[\omega]$.

Keywords: complete modulus of smoothness, multivariate version of Turan's type inequality, inequalities between moduli of smoothness of various order in different metrics, order-sharp inequality on a class

Received March 18, 2019

Revised May 15, 2019

Accepted May 20, 2019

Niyazi Aladdin ogly Il’yasov, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Baku State University, Baku, Azerbaijan,
e-mail: niyazi.ilyasov@gmail.com

Cite this article as: N.A.Il’yasov. Multivariate version of Turan’s type inequality and its applications to the estimation of uniform moduli of smoothness of periodic functions, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki URO RAN, 2019, vol. 25, no. 2, pp. 102–115.

[References -> on the "English" button bottom right]