Д.В. Горбачев, В.И. Иванов. Константы Никольского-Бернштейна для целых функций экспоненциального сферического типа в весовых пространствах ... С. 75-87

УДК 517.5

MSC: 41A17, 42B10

DOI: 10.21538/0134-4889-2019-25-2-75-87

Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект 18-11-00199).

Мы изучаем точную константу в неравенстве Никольского-Бернштейна $\|Df\|_{q}\le C\|f\|_{p}$ на подпространстве целых функций $f$ экспоненциального сферического типа в пространстве $L^{p}(\mathbb{R}^{d})$ с весом $v_{\kappa}$ степенного типа. В качестве дифференциального оператора $D$ рассматривается неотрицательная целая степень лапласиана Данкля $\Delta_{\kappa}$, ассоциированного с весом $v_{\kappa}$. Этим также охватывается одномерный случай пространства $L^{p}(\mathbb{R}_{+})$ со степенным весом $t^{2\alpha+1}$ и дифференциальным оператором Бесселя. Наш основной результат заключается в доказательстве равенства между многомерной и одномерной весовыми константами при $1\le p\le q=\infty$. Для этого мы показываем, что норма $\|Df\|_{\infty}$ может быть заменена значением $Df(0)$, что было известно только в одномерном случае. Необходимое отображение подпространства функций, по сути сводящее задачу к радиальной, а значит, одномерной, осуществляется при помощи положительного оператора обобщенного сдвига Данкля $T_{\kappa}^{t}$. Мы доказываем его новое свойство аналитического продолжения по переменной $t$. Как следствие мы вычисляем весовую константу Бернштейна при $p=q=\infty$, которая была известна в исключительных случаях. Также мы приводим некоторые оценки констант и даем небольшой список открытых проблем.

Ключевые слова: неравенство Никольского - Бернштейна, точная константа, целая функция экспоненциального сферического типа, вес степенного типа, лапласиан Данкля

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Арестов В.В. О неравенствах С.Н. Бернштейна для алгебраических и тригонометрических полиномов // Докл. АН СССР. 1979. Т. 246, № 6. С. 1289–1292.

2.   Арестов В.В. О неравенстве разных метрик для тригонометрических полиномов // Мат. заметки. 1980. Т. 27, № 4. С. 539–547.

3.   Arestov V., Babenko A., Deikalova M., Horvath A. Nikol’skii inequality between the uniform norm and integral norm with Bessel weight for entire functions of exponential type on the half-line // Anal. Math. 2018. Vol. 44, no. 1. P. 21–42. doi: 10.1007/s10476-018-0103-6 

4.   Dai F., Gorbachev D., Tikhonov S. Nikolskii constants for polynomials on the unit sphere [e-resource]. 21 p. URL: https://arxiv.org/pdf/1708.09837.pdf 

5.   Ganzburg M. Sharp constants of approximation theory. I. Multivariate Bernstein–Nikolskii type inequalities [e-resource]. 19 p. URL: https://arxiv.org/pdf/1901.04400.pdf 

6.   Ganzburg M.I., Tikhonov S.Yu. On sharp constants in Bernstein–Nikolskii inequalities // Constr. Approx. 2017. Vol. 45, no. 3. P. 449–466. doi: 10.1007/s00365-016-9363-1 

7.   Горбачев Д.В., Добровольский Н.Н. Константы Никольского в пространствах $L^{p}(\mathbb{R},|x|^{2\alpha+1}\,dx)$  // Чебышевский сб. 2018. Т. 19, № 2. С. 67–79. doi: 10.22405/2226-8383-2018-19-2-67-79 

8.   Горбачев Д.В., Мартьянов И.А. О взаимосвязи констант Никольского для тригонометрических полиномов и целых функций экспоненциального типа // Чебышевский сб. 2018. Т. 19, № 2. С. 80–89. doi: 10.22405/2226-8383-2018-19-2-80-89 

9.   Gorbachev D.V., Ivanov V.I., Tikhonov S.Y. Positive $L^{p}$-bounded Dunkl-type generalized translation operator and its applications // Constr. Approx. 2018. P. 1–51. doi: 10.1007/s00365-018-9435-5 

10.   Gorbachev D.V., Ivanov V.I. Fractional smoothness in $L^{p}$ with Dunkl weight and its applications [e-resource]. 28 p. URL: https://arxiv.org/pdf/1812.04946.pdf 

11.   Иванов В.А. Точные результаты в задаче о неравенстве Бернштейна — Никольского на компактных симметрических римановых пространствах ранга 1 // Тр. МИАН СССР: сб. тр.: Исследования по теории дифференцируемых функций многих переменных и ее приложениям. Ч. 14. . Т. 194. М.: Наука, 1992. C. 111–119.

12.   de Jeu M.F.E. Paley–Wiener theorems for the Dunkl transform // Trans. Amer. Math. Soc. 2006. Vol. 358. P. 4225–4250. doi: 10.1090/S0002-9947-06-03960-2 

13.   Камзолов А.И. Об интерполяционной формуле Рисса и неравенстве Бернштейна для функций на однородных пространствах // Мат. заметки. 1974. Т. 15, № 6. С. 967–978.

14.   Mejjaoli H., Trimeche K. On a mean value property associated with the Dunkl Laplacian operator and applications // Integral Transform. Spec. Funct. 2001. Vol. 12. P. 279–302. doi: 10.1080/10652460108819351 

15.   Levin E., Lubinsky D. Asymptotic behavior of Nikolskii constants for polynomials on the unit circle // Comput. Methods Funct. Theory. 2015. Vol. 15. P. 459–468. doi: 10.1007/s40315-015-0113-3 

16.   Nessel R., Wilmes G. Nikolskii-type inequalities for trigonometric polynomials and entire functions of exponential type // J. Austral. Math. Soc. 1978. Vol. 25, no. 1. P. 7–18. doi: 10.1017/S1446788700038878 

17.   Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. Москва: Наука, 1977. 480 с.

18.   Платонов С.С. Гармонический анализ Бесселя и приближение функций на полупрямой // Изв. РАН. Сер. математическая. 2007. Т. 71, № 5. С. 149–196.

19.   R$\ddot{\mathrm{o}}$sler M. A positive radial product formula for the Dunkl kernel // Trans. Amer. Math. Soc. 2003. Vol. 355. P. 2413–2438. doi: 10.1090/S0002-9947-03-03235-5 

Поступила 8.04.2019

После доработки 6.05.2019

Принята к публикации 13.05.2019

Горбачев Дмитрий Викторович
д-р физ.-мат. наук, профессор
Тульский государственный университет, г. Тула
e-mail: dvgmail@mail.ru

Иванов Валерий Иванович
д-р физ.-мат. наук, профессор
зав. кафедрой
Тульский государственный университет, г. Тула
e-mail: ivaleryi@mail.ru

Ссылка на статью: Д.В. Горбачев, В.И. Иванов. Константы Никольского-Бернштейна для целых функций экспоненциального сферического типа в весовых пространствах // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2019.Т.25, № 2. С. 75-87.

English

D.V. Gorbachev, V.I. Ivanov. Nikol’skii–Bernstein constants for entire functions of exponential spherical type in weighted spaces

We study the exact constant in the Nikol'skii-Bernstein inequality $\|Df\|_{q}\le C\|f\|_{p}$ on the subspace of entire functions $f$ of exponential spherical type in the space $L^{p}(\mathbb{R}^{d})$ with a power-type weight $v_{\kappa}$. For the differential operator $D$, we take a nonnegative integer power of the Dunkl Laplacian $\Delta_{\kappa}$ associated with the weight $v_{\kappa}$. This situation encompasses the one-dimensional case of the space $L^{p}(\mathbb{R}_{+})$ with the power weight $t^{2\alpha+1}$ and Bessel differential operator. Our main result consists in the proof of an equality between the multidimensional and one-dimensional weight constants for $1\le p\le q=\infty$. For this, we show that the norm $\|Df\|_{\infty}$ can be replaced by the value $Df(0)$, which was known only in the one-dimensional case. The required mapping of the subspace of functions, which actually reduces the problem to the radial and, hence, one-dimensional case, is implemented by means of the positive operator of generalized Dunkl translation $T_{\kappa}^{t}$. We prove its new property of analytic continuation in the variable $t$. As a consequence, we calculate the weighted Bernstein constant for $p=q=\infty$, which was known in exceptional cases only. We also find some estimates of the constant and give a short list of open problems.

Keywords: Nikol'skii-Bernstein inequality, exact constant, entire function of exponential spherical type, power-type weight, Dunkl Laplacian

Received April 8, 2019

Revised May 6, 2019

Accepted May 13, 2019

Funding Agency: This work was supported by the Russian Science Foundation (project no. 18-11-00199).

Dmitry Viktorovich Gorbachev, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Tula State University, Tula, 300012 Russia, e-mail: dvgmail@mail.ru

Valerii Ivanovich Ivanov, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Tula State University, Tula, 300012 Russia, e-mail: ivaleryi@mail.ru

Cite this article as: D.V.Gorbachev, V.I.Ivanov. Nikol’skii–Bernstein constants for entire functions of exponential spherical type in weighted spaces. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki URO RAN, 2019, vol. 25, no. 2, pp. 75–87.

[References -> on the "English" button bottom right]