Р.Р. Акопян. Приближение производных аналитических функций одного класса Харди другим классом Харди ... С. 21-29

УДК 517.977

MSC: 30E10, 30H10.

DOI: 10.21538/0134-4889-2019-25-2-21-29

Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект 18-01-00336) и Программы повышения конкурентоспособности УрФУ (постановление №211 Правительства РФ от 16.03.2013, контракт №02.A03.21.0006 от 27.08.2013).

 В пространстве Харди  $\mathcal{H}^p(D_\varrho),\, 1\le p\le\infty,$ функций, аналитических в круге $D_\varrho=\left\{z\in\mathbb{C}\, :\, |z| < \varrho\right\}$, обозначим через $NH^p(D_\varrho),\, N > 0,$ класс функций, чья $L^p$-норма на окружности $\gamma_\varrho=\left\{z\in\mathbb{C}\, :\, |z| = \varrho\right\}$ не превосходит число $N,$ а через $\partial H^p(D_\varrho)$ - класс, состоящий из производных функций класса $1H^p(D_\varrho).$ Рассматривается задача наилучшего приближения класса $\partial H^p(D_\rho)$ классом $NH^p(D_R),\, N > 0,$ относительно $L^p$-нормы на окружности $\gamma_r,\, 0<r<\rho<R.$ При $N\rightarrow+\infty$ получен порядок величины наилучшего приближения $$ \mathcal{E}\left(\partial H^p(D_\rho), H^p(D_R)\right)_{L^p(\Gamma_r)} \asymp N^{-\beta/\alpha} \ln^{1/\alpha}N, \quad    \alpha=\frac{\ln R-\ln\rho}{\ln R-\ln r}, \quad  \beta=1-\alpha. $$
 В случае, когда параметр $N$ принадлежит некоторой последовательности отрезков, получены точное значение величины наилучшего приближения класса классом и линейный метод, его реализующий. Рассмотрена близкая задача для классов функций, аналитических в кольцах.

Ключевые слова: аналитические функции, класс Харди, наилучшее приближение класса классом

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Акопян Р.Р. Наилучшее приближение оператора аналитического продолжения на классе аналитических в кольце функций // Тр. Института математики и механики УрО РАН. 2012, Т. 18, № 4. С. 3–13.

2.   Akopyan Roman R. Approximation of the differentiation operator on the class of functions analytic in an annulus // Ural Math. J. 2017. Vol. 3, Iss. 2. С. 6–13.

3.   Арестов В.В. Приближение линейных операторов и родственные экстремальные задачи // Тр. МИАН СССР. 1975. Т. 138. C. 29–42.

4.   Арестов В.В. О некоторых экстремальных задачах для дифференцируемых функций одной переменной // Тр. МИАН СССР. 1975. Т. 138. C. 3–28.

5.   Арестов В.В. Наилучшее приближение одного класса функций многих переменных другим и родственные экстремальные задачи // Матем. заметки. 1998. Т. 64. Вып. 3. С. 323–340.

6.   Арестов В.В. Приближение неограниченных операторов ограниченными и родственные экстремальные задачи // Успехи мат. наук. 1996. Т. 51, вып. 6 (312). С. 89–124.

7.   Тайков Л.В. Аналитическое продолжение функций с ошибкой // Тр. МИАН СССР. 1971. Т. 109. С. 61–64.

8.   Шведенко С.В. Классы Харди и связанные с ними пространства аналитических функций в единичном круге, поликруге и шаре // Итоги науки и техники. Сер. Мат. анализ. 1985. Т. 23. C. 3–124.

Поступила 1.04.2019

После доработки 7.05.2019

Принята к публикации 13.05.2019

Акопян Роман Размикович
канд. физ.-мат. наук, доцент
Уральский федеральный университет;
Институт математики и механики им. Н.Н.Красовского УрО РАН
г. Екатеринбург
e-mail: RRAkopyan@mephi.ru

Ссылка на статью: Р.Р. Акопян. Приближение производных аналитических функций одного класса Харди другим классом Харди // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2019. Т. 25, № 2. С. 21-29

English

R.R. Akopyan. Approximation of derivatives of analytic functions from one Hardy class by another Hardy class

In the Hardy space $\mathcal{H}^p(D_\varrho)$, $1\le p\le\infty$, of functions analytic in the disk $D_\varrho=\left\{z\in\mathbb{C}\,:\,|z|<\varrho\right\}$, we denote by $NH^p(D_\varrho)$, $N>0$, the class of functions whose $L^p$-norm on the circle $\gamma_\varrho=\left\{z\in\mathbb{C}\, :\, |z|=\varrho\right\}$ does not exceed the number~$N$ and by $\partial H^p(D_\varrho)$ the class consisting of the derivatives of functions from $1H^p(D_\varrho)$. We consider the problem of the best approximation of the class $\partial H^p(D_\rho)$ by the class $NH^p(D_R)$, $N>0$, with respect to the $L^p$-norm on the circle $\gamma_r$, $0<r<\rho<R$. The order of the best approximation as $N\rightarrow+\infty$ is found:
$$ \mathcal{E}\left(\partial H^p(D_\rho), NH^p(D_R)\right)_{L^p(\Gamma_r)} \asymp N^{-\beta/\alpha} \ln^{1/\alpha}N, \quad \alpha=\frac{\ln R-\ln\rho}{\ln R-\ln r}, \quad \beta=1-\alpha. $$
In the case where the parameter~$N$ belongs to some sequence of intervals, the exact value of the best approximation and a linear method implementing it are obtained. A similar problem is considered for classes of functions analytic in rings.

Keywords: analytic functions, Hardy class, best approximation of a class by a class

Received April 1, 2019

Revised May 7, 2019

Accepted May 13, 2019

Funding Agency: This work was supported by the Russian Foundation for Basic Research (project no. 18-01-00336) and by the Russian Academic Excellence Project (agreement no. 02.A03.21.0006 of August 27, 2013, between the Ministry of Education and Science of the Russian Federation and Ural Federal University).

Roman Razmikovich Akopyan, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Ural Federal University, Yekaterinburg, 620002 Russia; Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia; e-mail: RRAkopyan@mephi.ru

Cite this article as: R.R.Akopyan. Approximation of derivatives of analytic functions from one Hardy class by another Hardy class, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki URO RAN, 2019, vol. 25, no. 2, pp. 21–29.

[References -> on the "English" button bottom right]