Р.А. Алиев, Ч.А. Гаджиева. Об аппроксимации преобразования Гильберта ... С. 30-41

УДК 517.518.85+519.651

MSC: 44A15, 42A50, 41A35, 65D30

DOI: 10.21538/0134-4889-2019-25-2-30-41

Статья посвящена аппроксимации преобразования Гильберта $(Hu)(t)=\displaystyle\frac{1}{\pi}\displaystyle\int_{R}\frac{u(\tau)}{t-\tau}\,d\tau$ функций $u\in L_{2}(R)$} операторами вида $(H_{\delta}u)(t)=\displaystyle\frac{1}{\pi}\sum_{k=-\infty}^{\infty}\displaystyle \frac{u(t+(k+1/2)\delta)}{-k-1/2}$, $\delta >0$. Основными результатами работы являются следующие утверждения.

Теорема 1.  Для любого $\delta >0$ операторы $H_{\delta}$ ограниченно действуют в пространстве $L_{p}(R)$, $1<p<\infty$, и имеет место неравенство
$$
\|H_{\delta}\|_{L_{p}(R)\to L_{p}(R)} \le \|\widetilde{h}\|_{l_{p} \to l_{p}},
$$
где $\widetilde{h}$ - модифицированное дискретное преобразование Гильберта, определяемое равенством
$$
\widetilde{h}(b)=\big\{(\widetilde{h}(b))_{n}\big\}_{n\in \mathbb Z},\quad  \big(\widetilde{h}(b)\big)_{n}=\sum_{m\in \mathbb Z}\frac{b_{m}}{n-m-1/2},\quad n\in \mathbb Z,\quad b=\{b_{n}\}_{n\in \mathbb Z} \in l_{1}.
$$

Теорема 2.  Для любого $\delta >0$ и для любого $u\in L_{p}(R),\  1<p<\infty$, имеет место равенство
$$
H_{\delta}(H_{\delta}u)(t)=-u(t).
$$

Теорема 3.  Для любого $\delta >0$ последовательность операторов $\{H_{\delta/n}\}_{n\in \mathbb N}$ сильно сходится к оператору $H$ в пространстве $L_{2}(R)$, т. е. для любого $u\in L_{2}(R)$ имеет место равенство
$$
\lim\limits_{n\to \infty}\|H_{\delta/n} u-Hu\|_{L_{2}(R)}=0.
$$

Ключевые слова: преобразование Гильберта, сингулярный интеграл, аппроксимация, дискретное преобразование Гильберта

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Riesz M. Sur les fonctions conjuguees. Math. Zeit., 1928, vol. 27, no. 1, pp. 218–244. doi: 10.1007/BF01171098 

2.   Гарнетт Дж. Ограниченные аналитические функции. М.: Мир. 1984. 469 с.

3.   Kolmogoroff A. Sur les fonctions harmoniques conjuguees et les series de Fourier // Fund. Math. 1925. Vol. 7, iss. 1. P. 24–29.

4.   Лифанов И.К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент. М.: Янус. 1995. 520 с.

5.   Бойков И.В. Приближенные методы решения сингулярных интегральных уравнений. Пенза. Пензенский Государственный Университет. 2004. 297 с.

6.   Алиев Р.А. Новый конструктивный метод решения сингулярных интегральных уравнений // Мат. заметки. 2006. Т. 79, № 6. С. 803–824.

7.   Ермолаева Л.Б. Решение сингулярных интегральных уравнений методом осциллирующих функций // Изв. вузов. Математика. 2009. Vol. 12. С. 28–35.

8.   Алиев Р.А., Амрахова А.Ф. Конструктивный метод решения сингулярных интегральных уравнений с ядром Гильберта // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2012. Т. 18, № 4. С. 14–25.

9.   Kress V.R., Martensen E. Anwendung der rechteckregel auf die reelle Hilbert transformation mit unendlichem interval // Z. Angew. Math. Mech. 1970. Vol. 50. P. 61–64. doi: 10.1002/zamm.19700500125 

10.   Bialecki B. Sinc quadratures for Cauchy principal value integrals // Numerical Integration, Recent Developments, Software and Applications / eds. T. O. Espelid and A. Genz. Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., 1997. (NATO ASI Ser., Ser. C: Math. Phys. Sci.; vol. 357.) doi: 10.1007/978-94-011-2646-5_7 

11.   Stenger F. Approximations via Whittaker’s cardinal function // J. Approx. Theory. 1976. Vol. 17, no. 3. P. 222–240. doi: 10.1016/0021-9045(76)90086-1 

12.   Stenger F. Numerical methods based on Whittaker cardinal or Sinc functions // SIAM Review. 1981. Vol. 23, no. 2. P. 165-224.

13.   Stenger F. Numerical methods based on Sinc and analytic functions. Springer, N Y: Springer–Verlag, 1993. 565 p. (Springer Ser. in Comput. Math.; vol. 20.) doi: 10.1007/978-1-4612-2706-9 

14.   Hunt R., Muckenhoupt B., Wheeden R. Weighted norm inequalities for the conjugate function and Hilbert transform // Trans. Amer. Math. Soc. 1973. Vol. 176, no. 2. P. 227–251. doi: 10.2307/1996205 

15.   Aliev R.A., Amrahova A.F. On the summability of the discrete Hilbert transform // Ural Math. J. 2018. Vol. 4, no. 2. P. 6–12. doi: 10.15826/umj.2018.2.002 

16.   Andersen K.F. Inequalities with weights for discrete Hilbert transforms // Canad. Math. Bull. 1977. Vol. 20, no. 1. P. 9–16. doi: 10.4153/CMB-1977-002-2 

17.   Зигмунд А. Тригонометрические ряды: в 2 т. М.: Мир, 1965. Т. 1, 616 с.; Т. 2, 538 с.

Поступила 8.04.2019

После доработки 6.05.2019

Принята к публикации 13.05.2019

Алиев Рашид Авязага оглы
д-р мат. наук, доцент
Бакинский государственный университет;
главный науч. сотрудник
Институт математики и механики НАН Азербайджана
г. Баку, Азербайджан
e-mail: aliyevrashid@mail.ru

Гаджиева Чинара Ариф кызы
аспирант
Бакинский инженерный университет
г. Баку, Азербайджан
e-mail: hacizade.chinara@gmail.com

Ссылка на статью: Р.А. Алиев, Ч.А. Гаджиева. Об аппроксимации преобразования Гильберта // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2019. Т. 25, № 2. С. 30-41.

English

R.A. Aliev, Ch.A. Gadjieva. On the approximation of the Hilbert transform

The article is devoted to the approximation of the Hilbert transform $\left(Hu\right)\left(t\right)=\displaystyle\frac{1}{\pi } \int _{R}\displaystyle\frac{u\left(\tau \right)}{t-\tau } d\tau $ of functions $u\in L_{2} \left(R\right)$ by operators of the form $(H_{\delta}u)(t)=\displaystyle\frac{1}{\pi}\sum_{k=-\infty}^{\infty}\displaystyle \frac{u(t+(k+1/2)\delta)}{-k-1/2}$,  $\delta >0$. The main results are the following statements.

Theorem 1.  For any $\delta >0$ the operators $H_{\delta } $ are bounded in the space $L_{p} \left(R\right)$, $1<p<\infty $, and
\[\left\| H_{\delta } \right\| _{L_{p} \left(R\right)\to L_{p} \left(R\right)} \le \left\| \tilde{h}\right\| _{l_{p} \to l_{p} },\]
where $\tilde{h}$ is the modified discrete Hilbert transform defined by the equality 

$$
\widetilde{h}(b)=\big\{(\widetilde{h}(b))_{n}\big\}_{n\in \mathbb Z},\quad  \big(\widetilde{h}(b)\big)_{n}=\sum_{m\in \mathbb Z}\frac{b_{m}}{n-m-1/2},\quad n\in \mathbb Z,\quad b=\{b_{n}\}_{n\in \mathbb Z} \in l_{1}.
$$

Theorem 2.  For any $\delta >0$ and $u\in L_{p} \left(R\right)$, $1<p<\infty$, the following inequality holds:
\[H_{\delta } \left(H_{\delta } u\right)\left(t\right)=-u\left(t\right).\]

Theorem 3.  For any $\delta >0$ the sequence of operators $\{H_{\delta/n}\}_{n\in \mathbb N}$  strongly converges to the operator $H$ in $L_{2} \left(R\right)$; i.e., the following inequality holds for any $u\in L_{2} \left(R\right)$:
$$
\lim\limits_{n\to \infty}\|H_{\delta/n} u-Hu\|_{L_{2}(R)}=0.
$$

Keywords: Hilbert transform, singular integral, approximation, discrete Hilbert transform

Received April 8, 2019

Revised May 6, 2019

Accepted May 13, 2019

Rashid Avyazaga oglu Aliev, Dr. Math. Sci., Baku State University, Institute of Mathematics and Mechanics of NAS of Azerbaijan, Baku, Azerbaijan, e-mail: aliyevrashid@mail.ru

Chinara Arif kizi Gadjieva, doctoral student, Baku Engineering University, Baku, Azerbaijan,
e-mail: hacizade.chinara@gmail.com

Cite this article as: R.A.Aliev, Ch.A.Gadjieva. On the approximation of the Hilbert transform. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki URO RAN, 2019, vol. 25, no. 2, pp. 30–41.

[References -> on the "English" button bottom right]