Г. Акишев. О точности неравенства разных метрик для тригонометрических полиномов в обобщенном пространстве Лоренца ... С. 9-20

УДК 517.51

MSC: 42A05, 42A10, 46E30

DOI: 10.21538/0134-4889-2019-25-2-9-20

Работа выполнена при финансовой поддержке Программы повышения конкурентоспособности Уральского федерального университета,  постановления № 211 Правительства Российской Федерации, контракт № 02.A03.21.0006.

В статье рассматривается обобщенное пространство Лоренца $L_{\psi, \tau}(\mathbb{T}^{m})$, определенное по некоторой непрерывной, вогнутой функции  $\psi$, $\psi (0)=0$. Для двух пространств $L_{\psi_{1}, \tau_{1}}(\mathbb{T}^{m})$ и $L_{\psi_{2}, \tau_{2}}(\mathbb{T}^{m})$ при условии  $\alpha_{\psi_{1}}={\underline\lim}_{t\rightarrow 0}\psi_{1}(2t)/\psi_{1}(t) = \beta_{\psi_{2}} = \overline{\lim}_{t\rightarrow 0}\psi_{2}(2t)/\psi_{2}(t)$ доказано точное по порядку неравенство  разных метрик для кратных тригонометрических полиномов. Кроме того доказано одно  вспомогательное утверждение для функции одной переменной с монотонно убывающими коэффициентами Фурье по тригонометрической системе. В этом утверждении установлена двусторонняя оценка нормы  функции $f\in L_{\psi, \tau}(\mathbb{T})$ через сумму ряда  составленного из  коэффициентов Фурье этой функции.

Ключевые слова: обобщенное пространство Лоренца, неравенство Джексона-Никольского, тригонометрический полином

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Крейн С.Г., Петунин Ю.И., Семенов Е.М. Интерполяция линейных операторов. Москва: Наука, 1978. 400 с.

2.   Семенов Е.М. Интерполяция линейных операторов в симметричных пространствах // Докл. АН СССР. 1965. Т. 164, № 4. С. 746–749.

3.   Sharpley R. Space $\Lambda_{\alpha}(X)$  and interpolation. // J. Func. Anal. 1972. Vol. 11, no. 4. P. 479–513. doi: 10.1016/0022-1236(72)90068-7 

4.   Стейн И., Вейс Г. Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах. Москва: Мир, 1974. 333 c.

5.   Jackson D. Certain problems of closest approximation // Bull. Amer. Math. Soc. 1933. Vol. 39, no. 12. P. 889–906. doi: 10.1090/S0002-9904-1933-05759-2 

6.   Никольский С.М. Неравенства для целых функций конечной степени и их применение в теории дифференцируемых функций многих переменных // Тр. МИАН. 1951. Т. 38. С. 244–278.

7.   Бари Н.К. Обобщение неравенств С. Н. Бернштейна и А. А. Маркова // Изв. АН СССР. Cер. математическая. 1954. Т. 18, № 2. С. 159–176.

8.   Ибрагимов И.И. Экстремальные задачи в классе тригонометрических полиномов // Докл. АН СССР. 1958. Т. 121, № 3. C. 415–417.

9.   Потапов М.К. Некоторые неравенства для полиномов и их производных // Вест. МГУ. Сер. Математика. Механика. 1960. № 2. С. 10–19.

10.   Nessel R.J., Wilmes G., Nikol’skii-type inequalities for trigonometric polynomials and entire functions of exponential type // J. Austral. Math. Soc. 1978. Vol. 25, no. 1. Ser. A. P. 7–18. doi: 10.1017/S1446788700038878 

11.   Арестов В.В. О неравенстве разных метрик для тригонометрических полиномов // Мат. зам. 1980. Т.  27, вып. 4. С. 539–547.

12.   Arestov V.V., Glazyrina P.Yu. Sharp integral inequalities for fractional derivatives of trigonometric polynomials // J. Approxim. Theory. 2012. Vol. 164, no. 11. P. 1501-1512. doi: 10.1016/j.jat.2012.08.004 .

13.   Шерстнева Л.А. Неравенства Никольского для тригонометрических полиномов в пространствах Лоренца // Вестн. МГУ. 1984. № 4. С. 75–79.

14.   Шерстнева Л.А. О свойствах наилучших приближений Лоренца и некоторые теоремы вложения// Изв. вузов. Математика. 1987. Т. 10. С. 48–58.

15.   Ditzian Z., Prymak A. Nikol’skii inequalities for Lorentz spaces // Rocky Mountain J. Math. 2010. Vol. 40, no. 1. P. 209–223. doi: 10.1216/RMJ-2010-40-1-209 

16.   Gogatishvili A., Opic B., Tikhonov S., Trebels W. Ulyanov-type inequalities between Lorentz–Zygmund spaces // J. Fourier Anal. Appl. 2014. Vol. 20, no. 5. P. 1020–1049. doi: 10.1007/s00041-014-9343-4 

17.   Симонов Б.В. О вложении классов Никольского в пространства Лоренца // Сиб. мат. журн. 2010. Т. 51, № 4. С. 911–919.

18.   Родин В.А. Теорема Харди — Литтльвуда для косинус-ряда в симметричном пространстве // Мат. заметки. 1976. Т. 20, вып. 2. С. 241–246.

19.   Johansson H. Embedding of $H_{p}^{\omega}$  in some Lorentz spases. Research Report 6. Department of Mathematics, Umea University. 1975. 36 p.

Поступила 31.03.2019

После доработки 19.05.2019

Принята к публикации 26.05.2019

Акишев Габдолла
д-р физ.-мат. наук, профессор
Евразийский Национальный университет имени Л.Н.Гумилева,
г. Нур–Султан, Республика Казахстан;
Уральский федеральный университет, г. Екатеринбург
e-mail: akishev_g@mail.ru

Ссылка на статью: Г. Акишев. О точности  неравенства разных метрик для тригонометрических полиномов в обобщенном пространстве Лоренца // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН.2019.Т.25, №2. С. 9-20.

English

G. Akishev. On the exactness of the inequality of different metrics for trigonometric polynomials in the generalized Lorentz space

We consider the generalized Lorentz space $L_{\psi,\tau}(\mathbb{T}^m)$ defined by some continuous concave function~$\psi$ such that $\psi (0)=0$. For two spaces $L_{\psi_1,\tau_1}(\mathbb{T}^m)$ and $L_{\psi_2,\tau_2}(\mathbb{T}^{m})$ such that $\alpha_{\psi_{1}}={\underline\lim}_{t\rightarrow 0}\psi_{1}(2t)/\psi_{1}(t) = \beta_{\psi_{2}} = \overline{\lim}_{t\rightarrow 0}\psi_{2}(2t)/\psi_{2}(t)$, we prove an order-exact inequality of different metrics for multiple trigonometric polyno\-mials. We also prove an auxiliary statement for functions of one variable with monotonically decreasing Fourier coefficients in a trigonometric system. In this statement we establish a two-sided estimate for the norm of the function $f\in L_{\psi, \tau}(\mathbb{T})$ in terms of the series composed of the Fourier coefficients of this function.

Keywords: generalized Lorentz space, Jackson-Nikol'skii inequality, trigonometric polynomial

Received March 31, 2019

Revised May 19, 2019

Accepted May 26, 2019

Funding Agency: This work was supported by the Russian Academic Excellence Project (agreement no. 02.A03.21.0006 of August 27, 2013, between the Ministry of Education and Science of the Russian Federation and Ural Federal University).

Gabdolla Akishev, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., L.N.Gumilyov Eurasian National University, Nur–Sultan, 100008 Republic Kazakhstan; Ural Federal University, Yekaterinburg, 620002 Russia, e-mail: akishev_g@mail.ru

Cite this article as: G.Akishev, On the exactness of the inequality of different metrics for trigonometric polynomials in the generalized Lorentz space, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2019, vol. 25, no. 2, pp. 9–20.

[References -> on the "English" button bottom right]