Ю.Н. Субботин, Н.А. Черных. Численный метод решения краевых задач для однородного уравнения с квадратом оператора Лапласа с помощью интерполяционных всплесков ... C. 198-204

УДК 517.518.832

MSC: 42A10, 41A17, 41A25, 41A27

DOI: 10.21538/0134-4889-2019-25-2-198-204

Работа выполнена за счет гранта Российского научного фонда (проект 14-11-00702).

В работе представлен численный метод восстановления бигармонических функций в круге по непрерывным граничным значениям самих функций и их нормальных производных с помощью гармонических в круге всплесков, интерполяционных на границе круга, по двоично-рациональным сеткам. При этом разложения решений краевых задач в громоздкие интерполяционные ряды по базису всплесков свернуты в последовательности их частичных сумм, компактно представимых по базисам подпространств соответствующего кратномасштабного анализа (КМА) пространств Харди $h_{\infty}(K)$ гармонических в круге функций. Получены эффективные оценки аппроксимации решений частичными суммами любого порядка через наилучшие приближения граничных функций тригонометрическими полиномами чуть меньшего порядка. Это позволяет для практического обеспечения требуемой точности представления искомых бигармонических функций заранее выбрать масштабирующий параметр соответствующего подпространства КМА. Интерполяционная проекция на это подпространство кроме точности определяет простое аналитическое представление соотвествующих частичных сумм через подходящие сжатия и сдвиги масштабирующей функции, минуя сложные итерационные процедуры численного построения коэффициентов разложения граничных функций в ряды по интерполяционным всплескам. В работе выписаны решения с помощью интерполяционных и интерполяционно-ортогональных всплесков, построенных на базе всплесков Мейера. Вторые из них выгоднее использовать в случае, если граничные значения краевой задачи известны приближенно, например, получены экспериментально. Тогда можно будет использовать обычные хорошо известные процедуры дискретных ортогональных всплеск-преобразований для анализа и уточнения (корректировки) граничных значений. Для численной реализации предлагаемый метод значительно проще решения краевых задач с помощью ортогональных всплесков.

Ключевые слова: бигармонические функции, краевые задачи, интерполяционные всплески, кратномасштабный анализ (КМА)

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Субботин Ю.Н., Черных Н.И. Интерполяционно-ортогональные системы всплесков // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2008. Т. 14, № 3. С. 153–161.

2.   Offin D., Oskolkov K. A note on orthonormal polynomial bases and wavelets // Constr. Approx. 1993. Vol. 9. P. 319–325.

3.   Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. 3 изд-е. М., 1966. 724 c.

Поступила 6.03.2019

После доработки 6.05.2019

Принята к публикации 13.05.2019

Субботин Юрий Николаевич
д-р физ.-мат. наук, чл.-корр. РАН, профессор
Институт математики и механики им. Н.Н.Красовского УрО РАН
г. Екатеринбург,
e-mail: yunsub@imm.uran.ru

Черных Николай Иванович
д-р физ.-мат. наук, профессор
Институт математики и механики им. Н.Н.Красовского УрО РАН;
Уральский федеральный университет,
г. Екатеринбург
e-mail: Chernykh@imm.uran.ru

Ссылка на статью: Ю.Н. Субботин, Н.А. Черных. Численный метод решения краевых задач для однородного уравнения с квадратом оператора Лапласа с помощью интерполяционных всплесков // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2019. Т. 25, № 2. С. 198-204.

English

Yu.N. Subbotin, N.I. Chernykh. A numerical method for the solution of boundary value problems for a homogeneous equation with the squared Laplace operator with the use of interpolation wavelets

We present an effective numerical method for the recovery of biharmonic functions in a disk from continuous boundary values of these functions and of their normal derivatives using wavelets that are harmonic in the disk and interpolating on its boundary on dyadic rational grids. The expansions of solutions to boundary value problems into cumbersome interpolation series in the wavelet basis are folded into sequences of their partial sums that are compactly presentable in the subspace bases of the corresponding multiresolution analysis (MRA) of Hardy spaces $h_{\infty}(K)$ of functions harmonic in the disk. Effective estimates are obtained for the approximation of solutions by partial sums of any order in terms of the best approximation of the boundary functions by trigonometric polynomials of a slightly smaller order. As a result, to provide the required accuracy of the representation of the unknown biharmonic functions, one can choose in advance the scaling parameter of the corresponding MRA subspace such that the interpolation projection to this space defines a simple analytic representation of the corresponding partial sums of interpolation series in terms of appropriate compressions and shifts of the scaling functions, skipping complicated iterative procedures for the numerical construction of the coefficients of expansion of the boundary functions into series in interpolation wavelets. We write solutions using interpolation and interpolation-orthogonal wavelets based on modified Meyer wavelets, which are convenient to apply if the boundary values of the boundary value problem are given approximately, for example, are found experimentally. In this case, one can employ the usual, well-known procedures of discrete orthogonal wavelet transformations for the analysis and refinement (correction) of the boundary values.

Keywords: biharmonic function, boundary value problems, interpolation wavelets, multiresolution analysis (MRA)

Received March 6, 2019

Revised May 6, 2019

Accepted May 13, 2019

Funding Agency: This work was supported by the Russian Science Foundation (project no. 14-11-00702).

Yurii Nikolaevich Subbotin, RAS Corresponding Member, Prof., Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia, e-mail: yunsub@imm.uran.ru.

Nikolai Ivanovich Chernykh, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia, Ural Federal University, Yekaterinburg, 620002 Russia, e-mail: chernykh@imm.uran.ru.

Cite this article as: Yu.N.Subbotin, N.I.Chernykh. A numerical method for the solution of boundary value problems for a homogeneous equation with the squared Laplace operator with the use of interpolation wavelets, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki URO RAN, 2019, vol. 25, no. 2, pp. 198–204.

[References -> on the "English" button bottom right]