Е.С. Жуковский, Е.М. Якубовская. О существовании и оценках решений функциональных включений ... C. 45-54

Том 25, номер 1, 2019

УДК 517.982.1, 517.988.6

MSC: 47H07, 54C60, 34K09, 55M20

DOI: 10.21538/0134-4889-2019-25-1-45-54

Работа выполнена при финансовой поддержке Минобрнауки России (задание № 3.8515.2017/БЧ), Российского фонда фундаментальных исследований (проекты № 17-51-12064, № 17-01-00553).

Рассмотрены вопросы разрешимости операторных включений в частично упорядоченных пространствах. Используется понятие упорядоченного накрывания многозначных отображений, предложенное   А.В. Арутюновым, Е.С. Жуковским и С.Е. Жуковским  в 2016 г.  (см. Topology Appl., 2016, vol. 201, pp. 330-343). Доказано утверждение о сохранении свойства упорядоченного накрывания при антитонных возмущениях. Получены условия упорядоченного накрывания многозначного оператора Немыцкого, действующего из пространства существенно ограниченных функций в пространство измеримых функций. А именно установлено, что если многозначное отображение $f(t,x)$ по второму аргументу является упорядоченно накрывающим (в пространстве $\mathbb{R}^n$), то соответствующий оператор Немыцкого (определяемый как множество измеримых сечений отображения $f(t,x(t))$) также является упорядоченно накрывающим. На основании полученных результатов исследуется функциональное включение с отклоняющимся аргументом вида $0 \in g(t, x(h(t)), x(t)).$ Предполагается, что многозначное отображение $g(t,x,y)$ по второму аргументу не возрастает, а по третьему аргументу является упорядоченно накрывающим. Для этого включения доказана теорема существования решений и получены оценки решений.

Ключевые слова: упорядоченное пространство; многозначное упорядоченно накрывающее отображение;  многозначный оператор Немыцкого; пространство измеримых функций; функциональное включение; существование решения

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Арутюнов А.В. Накрывающие отображения в метрических пространствах и неподвижные точки // Докл. АН. 2007. Т. 416, № 2. С. 151–155.

2.   Аваков Е.Р., Арутюнов А.В., Жуковский Е.С. Накрывающие отображения и их приложения к дифференциальным уравнениям, не разрешенным относительно производной // Дифференц. уравнения. 2009. Т. 45, № 5. С. 613–634.

3.   Arutyunov A.V., Zhukovskiy E.S., Zhukovskiy S.E. Covering mappings and well-posedness of nonlinear Volterra equations // Nonlinear Analysis: Theory, Methods and Applications. 2012. Vol. 75, iss. 3. P. 1026–1044. doi: 10.1016/j.na.2011.03.038 

4.   Arutyunov A.V., Zhukovskiy E.S., Zhukovskiy S.E. Coincidence points principle for mappings in partially ordered spaces // Topology Appl. 2015. Vol. 179, № 1. P. 13–33. doi: 10.1016/j.topol.2014.08.013 

5.   Arutyunov A.V., Zhukovskiy E.S., Zhukovskiy S.E. Coincidence points principle for set-valued mappings in partially ordered spaces // Topology Appl. 2016. Vol. 201. P. 330–343. doi: 10.1016/j.topol.2015.12.044 

6.   Жуковский Е.С. Об упорядоченно накрывающих отображениях и неявных дифференциальных неравенствах // Дифференц. уравнения. 2016. Т. 52, № 12. С. 1610–1627

7.   Жуковский Е.С. Об упорядоченно накрывающих отображениях и интегральных неравенствах типа Чаплыгина // Алгебра и анализ. 2018. Т. 30, № 1. С. 96–127

8.   Жуковский Е.С., Плужникова Е.А., Якубовская Е.М. Об устойчивости упорядоченного накрывания многозначных отображений при антитонных возмущениях // Вестн. Тамбов. ун-та. Сер.: Естественные и технические науки. 2016. Т. 21, № 6. С. 1969–1973.
doi:  10.20310/1810-0198-2016-21-6-1969-1973 

9.   Якубовская Е.М. О функциональных включениях в упорядоченных пространствах // Вестн. Тамбов. ун-та. Сер.: Естественные и технические науки. 2017. Т. 22, № 3. С. 611–614. doi: 10.20310/1810-0198-2017-22-3-611-614

10.   Arutyunov A., de Oliveira V.A., Pereira F. L., Zhukovskiy E., Zhukovskiy S. On the solvability of implicit differential inclusions // Applicable Analysis. 2015. Vol. 94, № 1. P. 129–143. doi: 10.1080/00036811.2014.891732 

11.   Дмитрук А.В., Милютин А.А., Осмоловский Н.П. Теорема Люстерника и теория экстремума // Успехи мат. наук. 1980. Т. 35, № 6 (216). С. 11–46.

12.   Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. Т.1. Общая теория. М.: ИЛ, 1962. 896 с. ISBN: 5-354-00601-5 .

13.   Борисович Ю.Г., Гельман  Б.Д., Мышкис А.Д., Обуховский В.В. Введение в теорию многозначных отображений и дифференциальных включений. Москва: ЛИБРОКОМ, 2011. 224 с. ISBN: 978-5-397-01526-4 .

14.   Жуковский Е.С., Панасенко Е.А. Определение метрики пространства $\mathrm{clos}_{\varnothing}(X)$  замкнутых подмножеств метрического пространства X и свойства отображений со значениями в $\mathrm{clos}_{\varnothing}(\mathbb{R}^n)$  // Мат. сб. 2014. Т. 205, № 9. С. 65–96. doi: 10.4213/sm8240 

15.   Крейн С.Г. Функциональный анализ. Сер.: Справочная математическая библиотека М.: Наука, 1972. 544 с.

Поступила 19.09.2018

После доработки 16.01.2019

Принята к публикации 21.01.2019

Жуковский Евгений Семенович
д-р физ.-мат. наук, профессор
директор НИИ математики, физики и информатики
Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина, г. Тамбов
e-mail: zukovskys@mail.ru

Якубовская Екатерина Михайловна
аспирант кафедры функционального анализа
Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина, г. Тамбов
е-mail: yak.cat1306@mail.com

Ссылка на статью:   Жуковский Е.С.,  Якубовская Е.М. О существовании и оценках решений функциональных включений // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2019. Т. 25, № 1. С. 45-54.

Cite this article as:    E.S. Zhukovskiy, E.M. Yakubovskaya. On the existence and estimates of solutions to functional equations, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2019, vol. 25, no. 1, pp. 45–54 . 

English

E.S. Zhukovskiy, E.M. Yakubovskaya. On the existence and estimates of solutions to functional equations

We consider the issues of solvability of operator inclusions in partially ordered spaces. We use the notion of ordered covering of multivalued mappings proposed by A. V. Arutyunov, E. S. Zhukovskiy, and S. E. Zhukovskiy in their paper "Coincidence points principle for set-valued mappings in partially ordered spaces", Topology Appl. 201, 330-343 (2016). A statement on the preservation of properties of an ordered covering under antitone perturbations is proved. Conditions for an ordered covering of the multivalued Nemytskii operator acting from the space of essentially bounded functions to the space of measurable functions are obtained. More exactly, it is established that, if the multivalued mapping $f(t,x)$ is orderly covering in the second argument (in the space $\mathbb{R}^n$), then the corresponding Nemytskii operator (defined as the set of measurable sections of the mapping $f(t,x(t))$) is also orderly covering. These results are used to study a functional inclusion with a deviating argument of the form $0\in g(t,x(h(t)),x(t))$. It is assumed that the multivalued mapping $g(t,x,y)$ is nonincreasing in the second argument and is orderly covering in the third argument. For this inclusion, a solution existence theorem is proved and estimates of solutions are obtained.

Keywords: ordered space, multivalued orderly covering mapping, multivalued Nemytskii operator, space of measurable functions, functional inclusion, existence of a solution

Received September 19, 2018

Revised January 16, 2019

Accepted January 21, 2019

Funding Agency: This work was supported by the Ministry of Education and Science of the Russian Federation (state contract no. 3.8515.2017/BCh) and by the Russian Foundation for Basic Research (projects no. 17-51-12064, no. 17-01-00553).

Evgeny Semenovich Zhukovskiy, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Director of the Research Institute of Mathematics, Physics and Informatics, Tambov State University named after G.R. Dergavin, Tambov, 392000 Russia, е-mail: zukovskys@mail.ru

Ekaterina Mikhailovna Yakubovskaya, doctoral student, Tambov State University named after G.R. Dergavin, Tambov, 392000 Russia, е-mail: yak.cat1306@gmail.com

[References -> on the "English" button bottom right]