Е.В. Зубей. О разрешимости конечной группы с полунормальными или субнормальными подгруппами Шмидта некоторой ее максимальной подгруппы ... C. 55-61

Том 25, номер 1, 2019

УДК 512.542

MSC: MSC20D10, MSC20D20, MSC20D35, MSC20E28

DOI: 10.21538/0134-4889-2019-25-1-55-61

Группой Шмидта называют конечную ненильпотентную группу, все собственные подгруппы которой нильпотентны. Группа с нильпотентной максимальной подгруппой, как известно, является разрешимой, если коммутант силовской $2$-подгруппы из максимальной подгруппы содержится в центре силовской $2$-подгруппы. Если максимальная подгруппа группы ненильпотентна, то в ней существует подгруппа Шмидта. От свойств подгрупп Шмидта из максимальной подгруппы зависит строение самой группы,  в частности то, является ли она разрешимой. В данной работе устанавливается разрешимость конечной группы при условии, что некоторые подгруппы Шмидта из максимальной подгруппы группы полунормальны или субнормальны в группе.

Ключевые слова: конечная группа, разрешимая группа, подгруппа Шмидта, субнормальная подгруппа, полунормальная подгруппа, максимальная подгруппа

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Монахов В.С. Введение в теорию конечных групп и их классов. Минск: Вышэйшая школа, 2006. 207 с.

2.   Huppert B. Endliche gruppen I. Berlin; Heidelberg; N Y: Springer, 1967. 796 p. doi: 10.1007/978-3-642-64981-3 

3.   Thompson J. Finite groups with fixed point-free automorphisms of prime order // Proc. Nat. Sci., U.S.A. 1959. Vol. 45, no. 4. P. 578–581. doi: 10.1073/pnas.45.4.578 

4.   Thompson J. A special class of non-solvable groups // Math. Z. 1960. Vol. 72. P. 458–462. doi: 10.1007/BF01162968 

5.   Белоногов В.А. Один признак разрешимости групп четного порядка // Сиб. мат. журн. 1966. Т. 7, № 2. С. 458–459.

6.   Монахов В.С. Некоторые признаки разрешимости групп // Докл. АН БССР. 1970. Т. 14, № 11. C. 986–988.

7.   Монахов В.С. О влиянии свойств максимальных подгрупп на строение конечной группы // Мат. заметки. 1972. Т. 11, № 2. С. 183–190.

8.   Baumann B. Endliche nichtaufl$\ddot{\mathrm{o}}$sbare gruppen mit einer nilpotenten maximal untergruppen // J. Algebra. 1976. Vol. 38. P. 119–135. doi: 10.1016/0021-8693(76)90249-0 

9.   Монахов В.С. Конечные группы с полунормальной холловой подгруппой // Мат. заметки. 2006. Т. 80, № 4. С. 573–581.

10.   Guo W. Finite groups with seminormal Sylow subgroups // Acta Mathematica Sinica. 2008. Vol. 24, no. 10. P. 1751–1758. doi: 10.1007/s10114-008-6563-z 

11.   Княгина В.Н., Монахов В.С. Конечные группы с полунормальными подгруппами Шмидта // Алгебра и логика. 2007. Т. 46, № 4. С. 448–458.

12.   Княгина В.Н. О перестановочности $n$-максимальных подгрупп c $p$-нильпотентными подгруппами Шмидта // Тр. Ин-та математики НАН РБ. 2016. Т. 24, № 1. С. 34–37.

13.   Беркович Я. Г., Пальчик Э. М. О перестановочности подгрупп конечной группы // Сиб. мат. журн. 1967. T. 8, № 4. C. 741–753.

14.   Княгина В. Н., Монахов В. С. О перестановочности силовских подгрупп с подгруппами Шмидта // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2010. Т. 16, № 3. С. 130–139.

15.   Зубей Е.В., Княгина В.Н., Монахов В.С. О разрешимости конечной группы с $S$-полунормальными подгруппами Шмидта // Укр. мат. журн. 2018. Т. 70, № 11. С. 1511–1518.

16.   Княгина В.Н., Монахов В.С. О конечных группах с некоторыми cубнормальными подгруппами Шмидта // Сиб. мат. журн. 2004. Т. 45, № 6. С. 1316–1322.

17.   Ведерников В.А. Конечные группы с субнормальными подгруппами Шмидта // Алгебра и логика. 2007. Т. 46, № 6. С. 669–687.

18.   Al-Sharo Kh. A., Skiba A.N. On finite groups with $\sigma$-subnormal Schmidt subgroups // Commun. Algebra. 2017. Vol. 45, no. 10. P. 4158–4165. doi: 10.1080/00927872.2016.1236938 

19.   Шмидт О.Ю. Группы, все подгруппы которых специальные // Мат. сб. 1924. Т. 31. С. 366–372.

20.   Монахов В.С. Подгруппы Шмидта, их существование и некоторые приложения // Тр. Укр. мат. конгресса (2001) / Ин-т математики НАHУ. Киев, 2002. Cек. № 1. С. 81–90.

21.   Беркович Я.Г. Теорема о ненильпотентных разрешимых подгруппах конечной группы // Конечные группы / ред. Я. Г. Беркович. Минск: Наука и техника, 1966. C. 24–39. ISBN: 978-5-458-54866-3 .

22.   Монахов В.С. О подгруппах Шмидта конечных групп // Вопросы алгебры. 1998. Вып. 13. С. 153–171.

23.   Шеметков Л.А. Формации конечных групп. Минск: Наука, 1978. 271 с.

Поступила 12.12.2018

После доработки 30.01.2019

Принята к публикации 4.02.2019

Зубей Екатерина Владимировна
аспирант
Гомельский государственный университет им. Ф. Скорины
г. Гомель
e-mail: ekaterina.zubey@yandex.ru

Ссылка на статью:   Зубей  Е.В. О разрешимости конечной группы с полунормальными или субнормальными подгруппами Шмидта  некоторой ее максимальной подгруппы  // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2019. Т. 25, № 1. С. 55-61.

Cite this article as:   E.V. Zubei. On the solvability of a finite group with seminormal or subnormal Schmidt subgroups of one of its maximal subgroups , Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2019, vol. 25, no. 1, pp.55–61. 

English

E.V. Zubei. On the solvability of a finite group with seminormal or subnormal Schmidt subgroups of one of its maximal subgroups

A Schmidt group is a finite non-nilpotent group all of whose proper subgroups are nilpotent. A group with a nilpotent maximal subgroup is known to be solvable if the derived subgroup of a Sylow 2-subgroup of a maximal subgroup is contained in the center of the Sylow 2-subgroup. If a maximal subgroup of a group is non-nilpotent, then it has a Schmidt subgroup. The structure of a group and, in particular, its solvability, depend on the properties of Schmidt subgroups of its maximal subgroup. In this paper, we establish the solvability of a finite group such that some Schmidt subgroups of its maximal subgroup are seminormal or subnormal in the group.

Keywords: finite group, solvable group, Schmidt subgroup, subnormal subgroup, seminormal subgroup, maximal subgroup

Received December 12, 2018

Revised January 30, 2019

Accepted February 4, 2019

Ekaterina Vladimirovna Zubei, doctoral student, Francisk Skorina Gomel State University, Gomel, 246019, Republic of Belarus, e-mail: ekaterina.zubey@yandex.ru

[References -> on the "English" button bottom right]