С.Н. Смирнов. Феллеровское переходное ядро с носителями мер, заданными многозначным отображением ... C. 219-228

Том 25, номер 1, 2019

УДК 519.216, 519.866.2

MSC: 60J35, 91B25

DOI: 10.21538/0134-4889-2019-25-1-219-228

Исследование выполнено в рамках проведения научно-исследовательских работ на факультете ВМК МГУ имени М.В. Ломоносова по теме “Методы оптимизации в задачах управления для сложных систем в условиях реально доступной информации” (№ госрегистрации АААА-А16-116021110324-8).

Пусть $X$ — топологическое пространство и $Y$ — сепарабельное метрическое пространство, снабженные борелевскими $\sigma$-алгебрами $\mathcal{B}_X$ и  $\mathcal{B}_Y$ соответственно; $P(x,B)$ — стохастическое переходное ядро (т. е. отображение $x \mapsto P(x,B)$ измеримо для всех $B \in \mathcal{B}_Y$ и отображение $B\mapsto P(x, B)$ — вероятностная мера для всех $x \in X$); supp$(P(x,\cdot))$ — топологический носитель меры $B\mapsto P(x, B)$. Если переходное ядро $P(x,B)$  удовлетворяет феллеровскому свойству (т. е. отображение  $x \mapsto P(x,\cdot)$  непрерывно по отношению к слабой топологии на пространстве вероятностных мер), тогда многозначное отображение $x \mapsto$ supp$(P(x,\cdot))$ полунепрерывно снизу. Обратно, пусть задано многозначное отображение $x \mapsto S(x)$, где $x \in X$ и $S(x)$ — непустое замкнутое подмножество польского пространства $Y$. Если $x \mapsto S(x)$ полунепрерывно снизу, то при достаточно общих предположениях относительно топологического пространства $X$ существует феллеровское переходное ядро, такое что supp$(P(x,\cdot ))=S(x)$ для всех $x\in X$.

Ключевые слова: феллеровское свойство, переходное ядро, топологический носитель меры, полунепрерывное снизу многозначное отображение, непрерывная ветвь (селектор)

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Смирнов С.Н. Феллеровский процесс // Математическая энциклопедия / ред. И. М. Виноградов. Т. 5. М.: Изд-во “Советская энциклопедия”, 1985. C. 603–604.

2.   Куржанский А.Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. М.: Наука, 1977. 392 c.

3.   Tulcea I.C. Mesures dans les espaces produits // Atti Accad. Naz. Lincei. Rend. Cl. Sci. Fis. Mat. Nat. 1949. Vol. 8, iss. 7. P. 208–211.

4.   Michael E.A. Continuous selections. I // Ann. Math. 1956. Vol. 63, iss. 2. P. 361–382. doi: 10.2307/1969615 

5.   Lange K.L. Borel sets of probability measures // Pacific J. Math. 1973. Vol. 48, iss. 1. P. 141–162.

6.   Vakhania N.N., Tarieladze V.I., Chobanyan  S.A. Probability distributions on Banach spaces. Dordrecht: D. Reidel Publ. Comp., 1987. 482 p.

7.   Hu S., Papageorgiou N. Handbook of multivalued analysis. Vol. I: Theory. Berlin: Springer, 1997. 968 p. (Mathematics and Its Appl.; vol. 419).

8.   Биллингсли П. Сходимость вероятностных мер. М.: Наука, 1977. 352 с.

9.   Alexandroff A.D. Additive set-functions in abstract spaces // Мат. сб. 1943. Т. 13 (55), № 2–3. С. 169–238.

10.   Ash R.B. Real analysis and probability. N Y: Acad. Press., 1972. 494 p.

11.   Богачев В.И. Основы теории меры. Т. 2. М.-Ижевск: НИЦ “Регулярная и хаотическая динамика”, 2003. 576 c.

12.   Ширяев А.Н. Вероятность-1. М.: МЦНМО, 2004. 520 c.

13.   Weaver N. Lipschitz algebras. Singapore: World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., 1999. 223 p.

14.   Hille S.C., Worm D.T.H. Embedding of semigroups of Lipschitz maps into positive linear semigroups on ordered Banach spaces generated by measures // Integr. Equ. Oper. Theory. 2009. Vol. 63, iss. 3. P. 351–371.

15.   Dudley R.M. Real analysis and probability. Cambridge: Cambridge University Press., 2004. 555 p.

16.   Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функциональный анализ. М.: Наука, 1976. 543 с.

17.   Энгелькинг Р. Общая топология. М.: Мир, 1986. 752 с.

18.   Jain P.K., Khalil Ahmad, Ahuja Om P. Functional analysis. New Delhi etc.: New Age International, 1995. 326 p.

19.   Прохоров Ю.В. Сходимость случайных процессов и предельные теоремы теории вероятностей // Теория вероятностей и ее применение. Т. 1, № 2. 1956. C. 177–238.

20.   Dudley R.M. Distances of probability measures and random variables // Ann. Math. Statist. 1968. Vol 39, iss 5. P. 1503–1572. doi: 10.1214/aoms/1177698137 

21.   Denkowski Z., Migorski S., Papageorgiou N.S. An Introduction to nonlinear analysis: Theory. N Y: Springer Science & Business Media, 2003. 823 p.

Поступила 13.07.2018

После доработки 16.11.2018

Принята к публикации 19.11.2018

Смирнов Сергей Николаевич
канд. физ.-мат. наук,
Московский государственный университет им. М.В.Ломоносова
г. Москва
e-mail: s.n.smirnov@gmail.com

Ссылка на статью: Смирнов С.Н. Феллеровское переходное ядро с носителями мер, заданными многозначным отображением // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2019. Т. 25, № 1. С. 219-228.

Cite this article as: S.N. Smirnov. A Feller transition kernel with measure supports given by a set-valued mapping, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2019, vol. 25, no. 1, pp. 219-228. 

English

S.N. Smirnov. A Feller transition kernel with measure supports given by a set-valued mapping

Assume that $X$ is a topological space and $Y$ is a separable metric space. Let these spaces be equipped with Borel $\sigma$-algebras $\mathcal{B}_X$ and $\mathcal{B}_Y$, respectively. Suppose that $P(x,B)$ is a stochastic transition kernel; i.e., the mapping $x \mapsto P(x,B)$ is measurable for all $B \in \mathcal{B}_Y$ and the mapping $B\mapsto P(x, B)$ is a probability measure for any $x \in X$. Denote by supp$(P(x,\cdot))$ the topological support of the measure $B\mapsto P(x, B)$. If the transition kernel $P(x,B)$ satisfies the Feller property, i.e., the mapping $x \mapsto P(x,\cdot)$ is continuous in the weak topology on the space of probability measures, then the set-valued mapping $x\mapsto$supp$(P(x,\cdot))$ is lower semicontinuous. Conversely, consider a set-valued mapping $x\mapsto S(x)$, where $x\in X$ and $S(x)$ is a nonempty closed subset of a Polish space $Y$. If $x \mapsto S(x)$ is lower semicontinuous, then, under some general assumptions on the space $X$, there exists a Feller transition kernel such that supp$(P(x,\cdot))=S(x)$ for all $x\in X$.

Keywords: Feller property, transition kernel, topological support of a measure, lower semicontinuous set-valued mapping, continuous branch (selection)

Received July 13, 2018

Revised November 16, 2018

Accepted November 19, 2018

Funding Agency: This study was carried out at the Faculty of Computational Mathematics and Cybernetics of Moscow State University within the project “Optimization Methods in Control Problems for Complex Systems under Available Information” (state registration no. AAAA-A16-116021110324-8).

Sergei Nikolaevich Smirnov, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Lomonosov Moscow State University, Moscow, 119991 Russia, e-mail: s.n.smirnov@gmail.com

[References -> on the "English" button bottom right]