М.В. Старицын, Н.И. Погодаев. Об одном классе задач оптимального импульсного управления уравнением неразрывности ... C. 229-244

Том 25, номер 1, 2019

УДК 517.977.5

MSC: 93C10, 93C23

DOI: 10.21538/0134-4889-2019-25-1-229-244

Работа выполнена при поддержке РФФИ (проекты 18-31-20030 и 18-01-00026).

Исследуется задача импульсного управления специальным классом распределенных динамических систем. Такие системы представляют собой результат релаксации (расширения множества управляемых процессов) уравнения неразрывности с аффинным по управлению векторным полем, когда управляющие воздействия ограничены лишь интегрально. Задачи рассматриваемого типа возникают в области теории управления ансамблями траекторий, мультиагентными системами и системами с нечеткими начальными данными. Состояния системы до релаксации могут быть сколь угодно близки к разрывным кривым в пространстве вероятностных мер, поэтому соответствующая экстремальная задача не имеет решения. Релаксация приводит к корректной задаче оптимального управления, поставленной на обобщенных решениях уравнения неразрывности — мерозначных кривых ограниченной вариации. Дано описание обобщенных решений с помощью разрывной замены времени в траекториях характеристической системы нашего уравнения. Исследованы некоторые теоретико-функциональные свойства таких решений. Получено их представление с помощью дифференциальных уравнений с мерами. Основной результат статьи — необходимое условие оптимальности в форме принципа максимума для расширенной задачи. В заключение обсуждаются перспективы разработки вычислительных методов на основе полученных результатов.

Ключевые слова: мультиагентные системы, уравнение неразрывности, импульсно-траекторные расширения, управление ансамблями траекторий, импульсное управление, оптимальное управление, принцип максимума, численные методы оптимального управления

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Ovseevich A.I., Fedorov A.K. Asymptotically optimal feedback control for a system of linear oscillators // Dokl. Akad. Nauk. 2013. Vol. 88, no. 2, P. 613–617. doi: 10.1134/S106456241305013X 

2.   Li J.-S. Ensemble control of finite-dimensional time-varying linear systems // IEEE Trans. Autom. Control. 2011. Vol. 56, no. 2. P. 345–357.

3.   Conservation laws in the modeling of moving crowds / eds. Rinaldo M. Colombo, Mauro Garavello, Magali L$\acute{\mathrm{e}}$cureux-Mercier, Nikolay Pogodaev // Hyperbolic problems: theory, numerics, applications: Proc. of the Fourteenth Internat. Conf. on Hyperbolic Problems. Springfield: AIMS, 2014. P. 467–474. (AIMS Ser. Appl. Math.; vol. 8).

4.   Fornasier M., Solombrino F. Mean field optimal control // ESAIM: Control, Optimization and Calculus of Variations. 2014. Vol. 20, no. 4. P. 1123–1152. doi: 10.1051/cocv/2014009 

5.   Marigonda A., Quincampoix M. Mayer control problem with probabilistic uncertainty on initial positions // J. Dierential Equations. 2018. Vol. 264, no. 5. P. 3212–3252. doi: 10.1016/j.jde.2017.11.014 

6.   Li J.-S., Khaneja N. Ensemble control of Bloch equations // IEEE Trans. Autom. Control. 2009. Vol. 54, no. 3. P. 528–536. doi: 10.1109/TAC.2009.2012983 

7.   Arutyunov A., Karamzin D., Pereira F.L. On a generalization of the impulsive control concept: controlling system jumps // Discrete Contin. Dyn. Syst. 2011. Vol. 29, no. 2. P. 403–415. doi: 10.3934/dcds.2011.29.403 

8.   Bressan Jr. A., Rampazzo F. Impulsive control systems without commutativity assumptions // J. Optim. Theory Appl. 1994. Vol. 81, no. 3. P. 435–457. doi: 10.1007/BF02193094 

9.   Дыхта В.А., Самсонюк О.Н. Оптимальное импульсное управление с приложениями. Москва: Физматлит, 2000. 256 p. ISBN: 5-9221-0097-1 .

10.   Gurman V. Extensions and global estimates for evolutionary discrete control systems // Modelling and inverse problems of control for distributed parameter systems / eds. A. Kurzhanski, I. Lasiecka. Berlin: Springer, 1991. P. 16–21. (Lecture Notes in Control and Inform. Sci.; vol. 154). doi: 10.1007/BFb0044479 

11.   Karamzin D.Y., de Oliveira V.A., Pereira F.L., Silva G.N. On the properness of an impulsive control extension of dynamic optimization problems // ESAIM Control Optim. Calc. Var. 2015. Vol. 21, no. 3. P. 857–875. doi: 10.1051/cocv/2014053 

12.   Miller B.M., Rubinovich E.Y. Impulsive control in continuous and discrete-continuous systems. N Y: Kluwer Academic/Plenum Publishers, 2003, 447 p. doi: 10.1007/978-1-4615-0095-7 

13.   Motta M., Rampazzo F. Space-time trajectories of nonlinear systems driven by ordinary and impulsive controls // Differential Integral Eq., 1995, vol. 8, no. 2, pp. 269–288.

14.   Rishel R.W. An extended Pontryagin principle for control systems whose control laws contain measures // J. Soc. Indust. Appl. Math. Ser. A Control. 1965. Vol. 3. P. 191–205. doi: 10.1137/0303016 

15.   Warga J. Optimal control of differential and functional equations. N Y; London: Acad. Press, 1972. 531 p. ISBN: 0127351507 

16.   Zavalishchin S.T., Sesekin A.N. Dynamic impulse systems. Theory and applications. Dordrecht: Kluwer Acad. Publ. Group, 1997. 256 p. (Math. Appl.; vol. 394). doi: 10.1007/978-94-015-8893-5 

17.   Brockett R. Notes on the control of the Liouville equation // Control of partial differential equations / eds. P. Cannarsa, J.-M. Coron. Heidelberg: Springer, 2012. P. 101–129. (Lecture Notes in Math.; vol. 2048). doi: 10.1007/978-3-642-27893-8_2 

18.   Ambrosio L., Savar$\acute{\mathrm{e}}$ G. Gradient flows of probability measures // Handbook of differential equations: evolutionary equations / eds. C.M. Dafermos, E. Feireisl. Vol. III. Amsterdam: Elsevier, 2007. P. 1–136. ISBN: 978-0-444-52848-3 .

19.   Santambrogio F. Optimal transport for applied mathematicians. Calculus of variations, PDEs, and modeling. Cham: Birkh$\ddot{\mathrm{a}}$user Springer, 2015, 353 p. doi: 10.1007/978-3-319-20828-2 

20.   Bonnet B., Rossi F. The Pontryagin maximum principle in the Wasserstein space // Calc. Var. Partial Differ. Equ. 2019. Vol. 58, article 11. P. 1–36. doi: 10.1007/s00526-018-1447-2 

21.   Averboukh Y. Viability theorem for deterministic mean field type control systems // Set-valued and variational analysis. 2018. Vol. 26, no. 4. P. 993–1008. doi: 10.1007/s11228-018-0479-2 

22.   Staritsyn M. On “discontinuous” continuity equation and impulsive ensemble control // Systems and Control Letters. 2018. Vol. 118. P. 77–83. doi: 10.1016/j.sysconle.2018.06.001 

23.   Staritsyn M.V., Pogodaev N.I. On a class of impulsive control problems for continuity equations // IFAC-PapersOnLine (17th IFAC Workshop on Control Applications of Optimization CAO 2018). 2018. Vol. 51, no. 32. P. 468–473. doi: 10.1016/j.ifacol.2018.11.429 

24.   Pogodaev N. Optimal control of continuity equations // NoDEA Nonlinear Diff. Eq. Appl. 2016. Vol. 23, article 21. P. 1–24. doi: 10.1007/s00030-016-0357-2 

25.   Piccoli B., Rossi F. Transport equation with nonlocal velocity in Wasserstein spaces: convergence of numerical schemes // Acta Appl. Math. 2013. Vol. 124, no. 1. P. 73–105. doi: 10.1007/s10440-012-9771-6 

26.   Pogodaev N., Staritsyn M. Impulsive relaxation of continuity equations and modeling of colliding ensembles // Optimization and Applications / eds. Y. Evtushenko et al. 2019. P. 367–381. (Communications in Computer and Information Science; vol. 974). doi: 10.1007/978-3-030-10934-9_26 

27.   Овсянников Д.А., Кирин Н.Е. Математические методы управления пучками. Л.: Изд-во Ленинград. ун-та, 1980. 228 с.

28.   Pogodaev N. Program strategies for a dynamic game in the space of measures // Optim. Lett. 2018. P. 1–13. doi: 10.1007/s11590-018-1318-y 

29.   Kipka R.J., Ledyaev Y.S. Extension of chronological calculus for dynamical systems on manifolds // J. Differ. Equations. 2015. Vol. 258, no. 5. P. 1765–1790. doi: 10.1016/j.jde.2014.11.014 

30.   Филиппов А.Ф. О некоторых вопросах теории оптимального регулирования // Вест. МГУ. Математика и механика. 1959. № 2. P. 25–32.

31.   Иоффе A.И., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. Нелинейный анализ и его приложення. Москва: Наука, 1974. 481 р.

Поступила 15.12.2018

После доработки 5.02.2019

Принята к публикации 11.02.2019

Старицын Максим Владимирович
канд. физ.-мат. наук, науч. сотрудник
Институт динамики систем и теории управления имени В.М. Матросова СО РАН
г. Иркутск
e-mail: starmaxmath@gmail.com

Погодаев Николай Ильич
канд. физ.-мат. наук, зав. лабораторией
Институт динамики систем и теории управления имени В.М. Матросова СО РАН
г. Иркутск
e-mail: nickpogo@gmail.com

Ссылка на статью: Старицын М.В.,  Погодаев Н.И. Об одном классе задач оптимального импульсного управления уравнением неразрывности // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2019. Т. 25, № 1. С. 229-244.

Cite this article as: M.V. Staritsyn, N.I. Pogodaev. On a class of problems of optimal impulse control for a continuity equation, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2019, vol. 25, no. 1, pp. 229-244. 

English

M.V. Staritsyn, N.I. Pogodaev. On a class of problems of optimal impulse control for a continuity equation

We consider an impulse control problem for a special class of distributed dynamical systems. Such systems result from a relaxation (extension of the set of control processes) of a continuity equation driven by a vector field affine in the control, when there are only integral constraints on the input signals. Problems of this kind appear in the theory of ensemble control and control of multi-agent systems and systems with uncertain initial data. Prior to relaxation, the states of the system may be arbitrarily close to discontinuous curves in the space of probability measures, which leads to the unsolvability of the corresponding extremal problem. The relaxation produces a well-posed optimal control problem for generalized solutions of the continuity equation, which are measure-valued curves with bounded variation. Generalized solutions are described by means of a discontinuous time change in the trajectories of the characteristic system. Some function-theoretic properties of these solutions are studied, and their representation in terms of measure differential equations is obtained. The main result is a necessary optimality condition in the form of the maximum principle for the relaxed problem. Finally, we discuss the possibilities of applying the results for the development of numerical algorithms.

Keywords: multi-agent systems, continuity equation, impulse-trajectory relaxation, ensemble control, impulse control, optimal control, maximum principle, numerical algorithms for optimal control

Received December 15, 2018

Revised February 5, 2019

Accepted February 11, 2019

Funding Agency: This work was supported by the Russian Foundation for Basic Research (projects no. 18-31-20030, no. 18-01-00026).

Maksim Vladimirovich Staritsyn, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Matrosov Institute for System Dynamics and Conrol Theory of the Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences, Irkutsk, 664033 Russia,
e-mail: starmaxmath@gmail.com

Nikolay Il’ich Pogodaev, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Matrosov Institute for System Dynamics and Conrol Theory of the Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences, Irkutsk, 664033 Russia,
e-mail: nickpogo@gmail.com

[References -> on the "English" button bottom right]