Е.С. Половинкин. О непрерывной зависимости траекторий дифференциального включения от начальных приближений ... C. 174-195

Том 25, номер 1, 2019

УДК 517.977

MSC: 28B05, 46G10, 49J53, 49K99

DOI: 10.21538/0134-4889-2019-25-1-174-195

Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект 18-01-00209a).

В  работе рассмотрено дифференциальное включение с неограниченной правой частью $F$ в случае, когда эта правая часть  удовлетворяет  условиям измеримой псевдолипшицевости в окрестности некоторой фиксированной траектории $\widehat{x}(\cdot)$. В пространстве абсолютно непрерывных функций  доказана теорема  о существовании непрерывного отображения из некоторого  множества псевдотраекторий, заданных в окрестности  траектории $\widehat{x}(\cdot)$, во множество траекторий данного дифференциального включения с оценками, определяемыми  множеством псевдотраекторий. Для заданных многозначного отображения $F$ и траектории $\widehat{x}(\cdot)$  определено вариационное дифференциальное включение, график правой части которого является нижним касательным конусом к графику правой части $F$ в точках графика траектории $\widehat{x}(\cdot)$. Доказано существование непрерывного отображения из множества траекторий вариационного дифференциального включения во множество  траекторий исходного дифференциального включения с оценками. Эти свойства являются важнейшей частью прямого метода получения необходимых условий оптимальности в задачах с ограничениями в виде дифференциального включения.

Ключевые слова:  многозначное отображение, дифференциальное включение,  производная многозначного отображения, касательный конус,  условия измеримо-псевдолипшицевости многозначного отображения, необходимые условия оптимальности

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Aubin J.-P. Lipschitz behavior of solutions to convex minimization problems // Math. Oper. Res. 1984. Vol. 9. P. 87–111. doi: 10.1287/moor.9.1.87 

2.   Ioffe A.D. Existence and relaxation theorems for unbounded differential inclusions // J. Convex Anal. 2006. Vol.. 13, no. 2. P. 353–362.

3.   Половинкин Е.С. Дифференциальные включения с измеримо-псевдолипшицевой правой частью // Тр. МИАН. 2013. Т. 283. P. 121–141.

4.   Clarke F. H. Necessary conditions in dynamic optimization. Providence: AMS, 2005, 130 p. (Memoirs of the American Math. Soc.; vol. 173). ISBN: 9781470404178 .

5.   Loewen Ph.D., Rockafellar P.T. Optimal control of unbounded differential inclusions // SIAM J. Control Optim. 1994. Vol. 32, no. 2. P. 442–470. doi: 10.1137/S0363012991217494 

6.   Vinter R.B. Optimal control. Boston: Birkh$\ddot{\mathrm{a}}$user, 2000, 507 p. doi: 10.1007/978-0-8176-8086-2 

7.   Polovinkin E.S. The properties of continuity and differentiation of solution sets of Lipschetzean differential inclusions // Modeling, Estimation and Control of Systems with Uncertainty / eds. G.B.Di Masi, A. Gombani, A.B. Kurzhansky. Boston: Birkh$\ddot{\mathrm{a}}$user, 1991. P. 349–360. (Ser. PSCT 10). doi: 10.1007/978-1-4612-0443-5_23 

8.   Половинкин Е.С. Многозначный анализ и дифференциальные включения. М.: Физматлит, 2014. 524 с.

9.   Половинкин Е.С. Дифференциальные включения с неограниченной правой частью и необходимые условия оптимальности // Тр. МИАН. 2015. Т. 291. P. 249–265.

10.    Polovinkin E.S. Time optimum problems for unbounded differential inclusion // IFAC-PapersOnLine (Proc. of the 16th IFAC Workshop on Contr. Appl. of Optim., Garmisch-Partenkirchen, Germany, 6-9 October 2015). 2015. Vol. 48, iss. 25. P. 150–155. doi: 10.1016/j.ifacol.2015.11.075 

11.   Polovinkin E.S. Necessary optimality conditions for the Mayer problem with unbounded differential inclusion // IFAC-PapersOnLine (Proc. of the 17th IFAC Workshop on Contr. Appl. of Optim., Yekaterinburg, Russia, 15-19 October, 2018). 2018. Vol. 51, iss. 32. P. 521–524. doi: 10.1016/j.ifacol.2018.11.474 

12.   Lindenstrauss J. A short proof of Lyapounov’s convexity theorem // J. Math. Mech. 1966. Vol. 15. P. 971–972.

13.   Colombo R.M., Fryszkowski A., Rzezuchowski T., Staicu V. Continuous selections of solution sets of Lipschitzean differential inclusions // Funkcialaj Ekvacioj. 1991. Vol. 34. P. 321–330.

14.   Fryszkowski A. Fixed point theory for decomposable sets. Dordrecht; Boston: Kluwer Acad. Publ., 2004, 209 p. doi: 10.1007/1-4020-2499-1 

15.   Fryszkowski A., Rzezuchowski T. Continuous version of Filippov–Wazewski relaxation theorem // J. Diff. Eqs. 1992. Vol. 94. P. 254–265. doi: 10.1016/0022-0396(91)90092-N 

16.   Kuratowski K., Ryll-Nardzewski C.: A general theorem on selectors // Bull. Polish Acad. Sc. 1965. Vol. 13. P. 397–403.

17.   Aubin J.-P., Frankowska H. Set-valued analisys. Boston; Basel; Berlin: Birkh$\ddot{\mathrm{a}}$user, 1990. 461 p.

18.   Половинкин Е.С., Смирнов Г.В. Об одном подходе к дифференцированию многозначных отображений и необходимые условия оптимальности решений дифференциальных включений // Дифференц. уравнения. 1986. Т. 22, № 6. P. 944–954.

19.   Половинкин Е. С., Смирнов Г. В. : О задаче быстродействия для дифференциальных включений // Дифференц. уравнения. 1986. Т. 22, №. 8. P. 1351–1365.

20.   Кларк Ф.: Оптимизация и негладкий анализ. М.: Наука, 1988. 280 p.

21.   Болтянский В.Г. Метод шатров в теории экстремальных задач // Успехи мат. наук. 1975. Т. 30, № 3 (183). P. 3–55.

Поступила 3.12.2018

После доработки 17.01.2019

Принята к публикации 21.01.2019

Половинкин Евгений Сергеевич
д-р физ.-мат. наук, профессор
профессор кафедры высшей математики
Московский физико-технический институт (государственный университет), г. Долгопрудный
e-mail: polovinkin.es@mipt.ru

Ссылка на статью: Половинкин Е.С.  О непрерывной зависимости траекторий дифференциального включения от начальных приближений // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2019. Т. 25, № 1. С. 174-195.

Cite this article as: E.S. Polovinkin. On the continuous dependence of trajectories of a differential inclusion on initial approximations, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2019, vol. 25, no. 1, pp.  174-195. 

English

E.S. Polovinkin. On the continuous dependence of trajectories of a differential inclusion on initial approximations

We consider a differential inclusion with an unbounded right-hand side $F$ in the case when this right-hand side satisfies conditions of measurable pseudo-Lipschitzness in a neighborhood of some fixed trajectory $\widehat{x}(\cdot)$. In the space of absolutely continuous functions, we prove a theorem on the existence of a continuous mapping from a certain set of pseudo-trajectories defined in a neighborhood of the trajectory $\widehat{x}(\cdot)$ to a set of trajectories of the differential inclusion with estimates determined by the set of pseudo-trajectories. For the given multivalued mapping $F$ and trajectory $\widehat{x}(\cdot)$, a variational differential inclusion is defined such that the graph of its right-hand side is the lower tangent cone to the graph of the right-hand side $F$ at points of the graph of the trajectory $\widehat{x}(\cdot)$. The existence of a continuous mapping from the set of trajectories of the variational differential inclusion to the set of trajectories of the original differential inclusion is proved with estimates. These properties are an important part of the direct method of deriving necessary optimality conditions in problems with constraints in the form of a differential inclusion.

Keywords: multivalued mapping, differential inclusion, derivative of a multivalued mapping, tangent cone, conditions of measurable pseudo-Lipschitzness of a multivalued mapping, necessary optimality conditions

Received December 3, 2018

Revised January 17, 2019

Accepted January 21, 2019

Funding Agency: This work was supported by the Russian Foundation for Basic Research (project no. 18-01-00209a).

Evgeny Sergeevich Polovinkin, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Moscow Institute of Physics and Technology (State University), Dolgoprudnyi, Moscow region, 141700 Russia, e-mail: polovinkin.es@mipt.ru

[References -> on the "English" button bottom right]