Ю.Н. Субботин, Н.А. Черных. Гармонические интерполяционные всплески в кольце ... C. 225-234

УДК 517.518.832

MSC: 42A10, 41A17, 41A25, 41A27

DOI: 10.21538/0134-4889-2018-24-4-225-234

Работа второго автора выполнена при поддержке Программы повышения конкурентоспособности УрФУ (постановление № 211 Правительства РФ от 16.03.2013, контракт № 2.A03.21.0006 от 27.08.2013).

В дополнение к ранее опубликованным совместным работам авторов, применявших ортогональные всплески для представления решения задач Дирихле с оператором Лапласа и его степенями в круге и кольце, а интерполяционные всплески — только в круге, в настоящей статье развита техника применения интерполяционных периодических всплесков в кольце для краевой задачи Дирихле. Причем упор сделан не на проблеме точного представления решения в виде рядов (двойных) по системе всплесков, а на приближении решений с любой наперед заданной точностью конечными построенными с помощью интерполяционных всплесков линейными комбинациями двоично-рациональных сдвижек специальных гармонических полиномов. Полученные приближенные формулы просты для численной реализации, особенно если квадрат преобразования Фурье мейеровской масштабирующей функции с описанными в работе свойствами можно явно определить через подходящие элементарные функции.

Ключевые слова: интерполяционные всплески, кратномасштабный анализ (КМА), задача Дирихле, оператор Лапласа, наилучшее приближение, модуль непрерывности

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Subbotin Yu.N., Chernykh N.I. Interpolation wavelets in boundary value problems // Proc. Steklov Inst. Math. 2018. Vol. 300, Suppl. 1. P. 172–183. doi: 10.1134/S0081543818020177

2.   Donoho D.L. Interpolating wavelet transforms: preprint. Stanford: Stanford University, 1992. 54 p.

3.   Голузин Г.М. Решение основных плоских задач математической физики для случая уравнений Лапласа и многосвязных областей, ограниченных окружностями (метод функциональных уравнений) // Мат. сб. 1934. Т. 41, № 2. С. 246–278.

4.   Субботин Ю.Н., Черных Н.И. Гармонические всплески и асимптотика решения задачи Дирихле в круге с малым отверстием // Мат. моделирование. 2002. Т. 14, № 5. C. 17–30.

5.   Корнейчук Н.П. Экстремальные задачи теории приближения. М., Наука. 1976. 320 с.

6.   Ахиезер Н.И. Лекции по теории аппроксимации. М.; Л: Гостехиздат, 1947. 323 с.

Поступила 05.09.2018

После доработки 21.11.2018

Принята к публикации 26.11.2018

Субботин Юрий Николаевич
д-р физ.-мат. наук, чл.-корр. РАН, профессор
Институт математики и механики им. Н.Н.Красовского УрО РАН,
г. Екатеринбург,
e-mail: yunsub@imm.uran.ru

Черных Николай Иванович
д-р физ.-мат. наук, профессор
Институт математики и механики им. Н.Н.Красовского УрО РАН;
Уральский федеральный университет,
г. Екатеринбург
e-mail: Chernykh@imm.uran.ru

English

Yu.N. Subbotin, N.I. Chernykh. Harmonic interpolating wavelets in a ring

Complementing the authors’ earlier joint papers on the application of orthogonal wavelets to represent solutions of Dirichlet problems with the Laplace operator and its powers in a disk and a ring and of interpolating wavelets for the same problem in a disk, we develop a technique of applying interpolating periodic wavelets in a ring for the Dirichlet boundary value problem. The emphasis is not on the exact representation of the solution in the form of (double) series in a wavelet system but on the approximation of solutions with any given accuracy by finite linear combinations of dyadic rational translations of special harmonic polynomials; these combinations are constructed with the use of interpolating wavelets. The obtained approximation formulas are simply calculated, especially if the squared Fourier transform of the Meyer scaling function with the properties described in the paper is explicitly defined in terms of the corresponding elementary functions.

Keywords: interpolating wavelets, multiresolution analysis (MRA), Dirichlet problem, Laplace operator, best approximation, modulus of continuity

Received September 05, 2018

Revised November 21, 2018

Accepted November 26, 2018

Funding Agency: This work was supported by the Russian Foundation for Basic Research (project no. 18-01-00336) and by the Russian Academic Excellence Project (agreement no. 02.A03.21.0006 of August 27, 2013, between the Ministry of Education and Science of the Russian Federation and Ural Federal University).

Yurii Nikolaevich Subbotin, RAS Corresponding Member, Prof., Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics, Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620990 Russia,
e-mail: yunsub@imm.uran.ru.

Nikolai Ivanovich Chernykh, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics, Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620990 Russia, Ural Federal University, Yekaterinburg, 620002 Russia, e-mail: chernykh@imm.uran.ru.