Г. Акишев. Неравенство разных метрик в обобщенном пространстве Лоренца ... С. 5-18

УДК 517.51

MSC: 42A05, 42A10, 46E30

DOI: 10.21538/0134-4889-2018-24-4-5-18

Работа выполнена при поддержке Программы повышения конкурентоспособности УрФУ (постановление № 211 Правительства РФ от 16.03.2013, контракт № 02.A03.21.0006 от 27.08.2013).

Основная цель статьи -  доказать неравенство Джексона - Никольского для кратных тригонометрических полиномов в обобщенном пространстве Лоренца $L_{\psi, \theta}(\mathbb{T}^{m})$.    В первом  разделе статьи приведены определения симметричного пространства функций, фундаментальной функции и индекса Бойда пространства. В частности, определены  обобщенные пространства Лоренца, Лоренца - Зигмунда. Кроме того даны определения слабо меняющейся функции, пространства Лоренца - Караматы. Во втором разделе доказан аналог неравенства разных метрик для кратных тригонометрических полиномов в обобщенном пространстве Лоренца $L_{\psi, \theta}(\mathbb{T}^{m})$ с одинаковыми индексами Бойда, но разными фундаментальными функциями. В пространстве Лоренца - Караматы получено точное по порядку неравенство Джексона - Никольского для кратных тригонометрических полиномов.

Ключевые слова: пространство Лоренца - Караматы, неравенство Джексона - Никольского, тригонометрический полином

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Крейн С.Г., Петунин Ю.И., Семенов Е.М. Интерполяция линейных операторов. Москва: Наука, 1978. 400 c.

2.   Стейн И., Вейс Г. Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах. Москва: Мир, 1974. 332 c.

3.   Семенов Е.М. Интерполяция линейных операторов в симметричных пространствах // Докл. АН. 1965. Т. 164, №4. С. 746–749.

4.   Jackson D. Certain problems of closest approximation // Bull. Amer. Math. Soc. 1933. Vol. 39, no. 12. P. 889–906. doi: 10.1090/S0002-9904-1933-05759-2 .

5.   Никольский С.М. Неравенства для целых функций конечной степени и их применение в теории дифференцируемых функций многих переменных // Тр. МИАН. 1951. Т. 38. С. 244–278.

6.   Бари Н.К. Обобщение неравенств С.Н. Бернштейна и А.А. Маркова // Изв. АН. Cер. математическая. 1954. Т. 18, №2. С. 159–176.

7.   Иванов В.И. Некоторые неравенства для тригонометрических полиномов и их производных в разных метриках // Мат. заметки. 1975. Т. 18, № 4. С. 489–498.

8.   Арестов В.В. О неравенстве разных метрик для тригонометрических полиномов // Мат. заметки. 1980. Т. 27, № 4. С. 539–547.

9.   Arestov V.V., Deikalova M.V. Nikol’skii inequality for algebraic polynomials on a multidimensional Euclidean sphere // Proc. Steklov Inst. Math. 2014. Vol. 284, suppl. 1. P. 9–23. doi: 10.1134/S0081543814020023 .

10.   Темляков В.Н. Приближение функций с ограниченной смешанной производной // Тр. МИАН. 1986. Т. 178. С. 1–112.

11.   Родин В.А. Неравенства Джексона и Никольского для тригонометрических полиномов в симметричном пространстве // Тр. VII зимней школы Дрогобыч (1974). Москва, 1976. С. 133–140.

12.   Смаилов Е.С. О влиянии геометрических свойств спектра многочлена на неравенства разных метрик С.М. Никольского // Сиб. мат. журн. 1998. Т. 39, № 5. С. 1158–1163.

13.   Нурсултанов Е.Д. Неравенства разных метрик С.М. Никольского и свойства последовательности норм сумм Фурье функции из пространства Лоренца // Тр. МИАН. 2006. Т. 255. С. 1–18.

14.   Gogatishvili A., Opic B., Tikhonov S., Trebels W. Ulyanov-type inequalities between Lorentz–Zygmund spaces // J. Fourier Anal. Appl. 2014. Vol. 20, no. 5. P. 1020–1049. doi: 10.1007/s00041-014-9343-4 .

15.   Шерстнева Л.А. Неравенства Никольского для тригонометрических полиномов в пространствах Лоренца // Вест. МГУ. 1984. № 4. С. 75–79.

16.   Швелидзе Н.В. О теоремах вложения в некоторых функциональных пространствах // Сообщения АН Груз. ССР. 1976. Т. 83, № 2. С. 290–292.

17.   Акишев Г. О порядках M-членных приближений классов функций симметричного пространства // Мат. журн. 2014. Т. 14, № 4. C. 46–71.

18.   Шерстнева Л.А. О свойствах наилучших приближений Лоренца и некоторые теоремы вложения // Изв. вузов. Математика. 1987. Т. 10. С. 48–58.

19.   Sharpley R. Space $\Lambda_{\alpha}(X)$ and interpolation // J. Func. Anal. 1972. Vol. 11, no. 4. P. 479–513. doi: 10.1016/0022-1236(72)90068-7 .

20.   Bennet C., Rudnik K. On Lorentz–Zygmund spaces // Disser. Math. Vol. 175. Warszawa, 1979. 66 p. ISBN: 8301011114 .

21.   Edmunds D.E., Evans W.D. Hardy operators, function spaces and embedding. Berlin; Heidelberg: Springer-Verlag, 2004. 328 p.

22.   Neves J.S. Lorentz–Karamata spaces, Bessel and Riesz potential and embeddings // Disser. Math. Vol. 405. 2002. 46 p. doi: 10.4064/dm405-0-1 .

23.   Родин В.А. Теорема Харди–Литтльвуда для косинус-ряда в симметричном пространстве // Мат. заметки. 1976. Т. 20, вып. 2. С. 241–246.

24.   Комиссаров А.А. О некоторых свойствах функциональных систем // Деп. ВИНИТИ. № 5827–83Деп. Москва, 1983. 28 с.

25.   Ditzian Z., Prymak A. Nikol’skii inequalities for Lorentz spaces // Rocky Mountain J. Math. 2010. Vol. 40, no. 1. P. 209–223.

26.   Сабзиев Н.М. Некоторые экстремальные свойства функции из класса $L_{p}$// Деп. ВИНИТИ. № 5252–82Деп. Баку, 1982. 12 с.

Поступила 29.08.2018

После доработки 23.11.2018

Принята к публикации 26.11.2018

Акишев Габдолла
д-р физ.-мат. наук, профессор
Евразийский Национальный университет им. Л.Н.Гумилева, г. Астана;
Уральский федеральный университет, г. Екатеринбург
e-mail: akishev_g@mail.ru

English

G. Akishev. An inequality of different metrics in the generalized Lorentz space

The main goal of the paper is to prove the Jackson-Nikol'skii inequality for multiple trigonometric polynomials in the generalized Lorentz space $L_{\psi,\theta}(\mathbb{T}^{m})$.  In the first section we give definitions of a symmetric space of functions, a fundamental function, and the Boyd index of a space. In particular, we define the generalized Lorentz and Lorentz-Zygmund spaces. In addition, definitions of a weakly varying function and of the Lorentz-Karamata space are given. In the second section we prove an analog of the inequality of different metrics for multiple trigonometric polynomials in generalized Lorentz spaces $L_{\psi,\theta}(\mathbb{T}^{m})$ with identical Boyd indices but different fundamental functions. In the Lorentz-Karamata space, the order-exact Jackson-Nikol'skii inequality for multiple trigonometric polynomials is obtained.

Keywords: Lorentz-Karamata space, Jackson-Nikol'skii inequality, trigonometric polynomial

Received August 29, 2018

Revised November 23, 2018

Accepted November 26, 2018

Funding Agency: This work was supported by the Russian Academic Excellence Project (agreement no. 02.A03.21.0006 of August 27, 2013, between the Ministry of Education and Science of the Russian Federation and Ural Federal University).

Gabdolla Akishev, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., L.N.Gumilyov Eurasian National University, 100008, Astana , Republic Kazakhstan; Ural Federal University, Yekaterinburg, 620002 Russia,
e-mail: akishev_g@mail.ru.