УДК 517.977
MSC: 35C99, 35Q35, 76W05, 76X05
DOI: 10.21538/0134-4889-2018-24-3-176-186
Полный текст статьи
Рассматривается система уравнений для движения ионизированного идеального газа. Излагается алгоритм сведения данной системы нелинейных уравнений в частных производных к системам обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Показано, что независимая переменная $\psi$ в системах ОДУ определяется из соотношения $\psi=t+xf_{1}(\psi)+yf_{2}(\psi)+zf_{3}(\psi)$ после выбора (задания или определения) функций $f_{i}(\psi)$, $(i=1,2,3)$. Функции $f_{i}(\psi)$ либо определяются из условий задачи, поставленной для исходной системы в частных производных, либо задаются произвольно для получения конкретной системы ОДУ. Для задачи о движении ионизированного газа вблизи тела получена система ОДУ, обсуждается вопрос неустойчивости, отмеченной во многих случаях. Также рассматривается задача о движении потоков (частиц) в заданном направлении, которая представляет значительный интерес в некоторых областях физики. Получены функции $f_{i}(\psi)$, $(i=1,2,3)$, которые обеспечивают движение потока ионизированного газа в заданном направлении и сведение системы уравнений в частных производных к системе ОДУ.
Ключевые слова: нелинейные дифференциальные уравнения с частными производными, точные решения, системы ОДУ, краевая задача
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Tonks L., Langmuir I. Oscillations in ionozed gases // Phys. Rev. 1929. Vol. 33. P. 195–210. doi: 10.1103/PhysRev.33.195 .
2. Галеев А.А., Судан Р. Основы физики плазмы: в 2 т. М.: Энергоатомиздат. Т. 1, 1983, 640 с.; Т. 2, 1984, 631 c.
3. Энциклопедия низкотемпературной плазмы / ред. В.Е. Фортов. Т. I–IX. М.: Наука, 2000–2008.
4. Калиткин Н.Н., Костомаров Д.П. Математическое моделирование плазмы // Мат. моделирование. 2006. Т. 18, № 11. С. 67–94.
5. Брушлинский К.В. Численные модели течений ионизующегося газа // Энциклопедия низкотемпературной плазмы / ред. В.Е. Фортов. Сер. Б. Т. VII-1, ч. 2. М.: ЯНУС-К, 2008. С. 84–90.
6. Virtual charge state separator as an advanced tool coupling measurements and simulations / S. Yaramyshev [et al.] // Phys. Rev. ST Accel. Beams 18, 050103, 2015. doi: 10.1103/PhysRevSTAB.18.050103 .
7. Перепелкин Е.Е., Репникова Н.П., Иноземцева Н.Г. Точное решение задачи пространственного заряда для движения сферически симметричного пучка в однородном электрическом поле // Мат. заметки. 2015. Т. 98, вып. 3. С. 386–392.
8. Берендеев Е.А. Численное моделирование развития турбулентности при взаимодействии электронного пучка с плазмой / Е. А. Берендеев, В. А. Вшивков, А. А. Ефимова, Е. А. Месяц // Вычисл. методы и программирование. 2015. Т. 16, вып. 1. С. 139–145.
9. Михайловский А.Б. Теория плазменных неустойчивостей. Т. 1: Неустойчивости однородной плазмы. М., Атомиздат, 1975; Т. 2: Неустойчивости неоднородной плазмы. М.: Атомиздат, 1977.
10. A periodically active pulsar giving insight into magnetospheric physics / M. Kramer, A. G. Lyne, J. T. O’Brien, C. A. Jordan, D. R. Lorimer // Science. 2006. Vol. 312, no. 5773. P. 549–551. doi: 10.1126/science.1124060 .
11. Courant R., Hilbert D. Methods of mathematical physics. Vol.: Partial differential equations. N Y: Interscience, 1962. 830 p.
12. Рубина Л.И., Ульянов О.Н. О решении некоторых уравнений нелинейной акустики // Акустический журнал. 2015. Т. 61, № 5. С. 576–582.
13. Рубина Л.И., Ульянов О.Н. Об аналогиях в математическом описании явлений конической рефракции и турбулентности на примере течения вязкой несжимаемой жидкости // Тез. докл. Междунар. конф. “XIII Забабахинские научные чтения” (20–26 марта 2017, г. Снежинск). 2017. С. 46–47.
Поступила 28.04.2018
Рубина Людмила Ильинична
канд. физ.-мат. наук, старший науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н.Красовского УрО РАН,
г. Екатеринбург,
e-mail: rli@imm.uran.ru
Ульянов Олег Николаевич
канд. физ.-мат. наук, старший науч. сотрудник
ученый секретарь института
Институт математики и механики им. Н.Н.Красовского УрО РАН;
доцент
Уральский федеральный университет,
г. Екатеринбург
e-mail: secretary@imm.uran.ru
English
L.I. Rubina, O.N. Ul’yanov. One approach to the solution of some problems in plasma dynamics
A system of equations for the motion of an ionized ideal gas is considered. An algorithm for the reduction of this system of nonlinear partial differential equations (PDEs) to systems of ordinary differential equations (ODEs) is presented. It is shown that the independent variable $\psi$ in the systems of ODEs is determined from the relation $\psi=t+xf_1(\psi)+yf_2(\psi)+zf_3(\psi)$ after choosing (setting or finding) the functions $f_i(\psi)$, $i=1,2,3$. These functions are either found from the conditions of the problem posed for the original system of PDEs or are given arbitrarily to obtain a specific system of ODEs. For the problem on the motion of an ionized gas near a body, we write a system of ODEs and discuss the issue of instability, which is observed in a number of cases. We also consider a problem of the motion of flows (particles) in a given direction, which is of significant interest in some areas of physics. We find the functions $f_i(\psi)$, $i=1,2,3$, that provide the motion of a flow of the ionized gas in a given direction and reduce the system of PDEs to a system of ODEs.
Keywords: nonlinear partial differential equations, exact solutions, systems of ordinary differential equations, boundary value problem
The paper was received by the Editorial Office on April 28, 2018.
Ljudmila Il’inichna Rubina, Cand. Sci (Phys.-Math.), Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620990, Russia,
e-mail: rli@imm.uran.ru.
Oleg Nikolaevich Ul’yanov, Cand. Sci (Phys.-Math.), Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620990, Russia, Ural Federal University, Yekaterinburg, 620002 Russia, e-mail: secretary@imm.uran.ru.
[References -> on the "English" button bottom right]
