А.-Р.К. Рамазанов, В.Г. Магомедова. Ковыпуклая интерполяция сплайнами по трехточечным рациональным интерполянтам ... С. 164-175

УДК 517.5

MSC: 97N50

DOI: 10.21538/0134-4889-2018-24-3-164-175

Для дискретных функций $f(x)$, определенных на произвольных сетках узлов $\Delta: a=x_0<x_1<\dots<x_N=b$ $(N\geqslant 3)$, исследованы вопросы сохранения выпуклости (вверх или вниз) и ковыпуклости с переменой направления выпуклости рациональными сплайн-функциями $R_{N,1}(x)=R_{N,1} (x, f, \Delta, g(t))= (R_i(x)(x-x_{i-1})+R_{i-1}(x)(x_i-x))/(x_i-x_{i-1})$, где $x\in [x_{i-1},x_i]$ $(i=1,2,\dots,N)$, $R_i(x)=\alpha_i+\beta_i(x-x_i)+\gamma_i/(x-g_i(t))$ $(i=1,2,\dots,N-1)$ и $R_i(x_j)=f(x_j)$ $(j=i-1,i,i+1)$; положение полюса $g_i(t)$ относительно узлов $x_{i-1}$ и $x_i$ определяется параметром $t$; считаем $R_0(x)\equiv R_1(x)$, $R_N(x)\equiv R_{N-1}(x)$. Для таких сплайнов получены условия сохранения ковыпуклости $1/2<|q_i|<2$ относительно отношений  $q_i=f(x_{i-2}, x_{i-1}, x_i)/f(x_{i-1},x_i, x_{i+1})$, $i=2,3,\dots,N-1$.

Ключевые слова: интерполяционный сплайн, рациональный сплайн, ковыпуклая интерполяция, формосохраняющая интерполяция

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Schweikert D.G. An interpolation curve using a spline in tension // J. Math. Phys. 1966. Vol. 45, iss. 1–4. P. 312–317. doi: 10.1002/sapm1966451312 .

2.   Miroshnichenko V.L. Convex and monotone spline interpolation // Constuctive Theory of Function: Proc. Int. Conf. (Varna, 1984). Sofia: Publ. House of Bulgarian Acad. Sci., 1984. P. 610–620.

3.   Мирошниченко В.Л. Достаточные условия монотонности и выпуклости для интерполяционных кубических сплайнов класса $C^2$ // Вычислительные системы: сб. ст. / ИМ СО АН СССР. Новосибирск, 1990. Вып. 137: Приближение сплайнами. С. 31–57.

4.   Квасов Б.И. Методы изогеометрической аппроксимации сплайнами. М.: Физматлит, 2006. 360 c.

5.   Формосохраняющая интерполяция кубическими сплайнами / Ю.С. Волков, В.В. Богданов, В.Л. Мирошниченко, В.Т. Шевалдин // Мат. заметки. 2010. Т. 88, № 6. С. 836–844. doi: 10.1134/S0001434610110209 .

6.   Schaback R. Spezielle rationale Splinefunktionen // J. Approx.Theory. 1973. Vol. 7, no. 2. pp. 281–292. doi: 10.1016/0021-9045(73)90072-5 .

7.   Spath H. Spline algorithms for curves and surfaces. Winnipeg: Utilitas Mathematica Publ. Inc., 1974. 198 p.

8.   Hussain M. Z., Sarfraz M., Shaikh T. S. Shape preserving rational cubic spline for positive and convex data // Egyptian Informatics J. 2011. Vol. 12. pp. 231–236. doi: 10.1016/ j.eij.2011.10.002 .

9.   Edeo A., Gofeb G., Tefera T. Shape preserving $C^2$ rational cubic spline interpolation // American Sci. Research J. Engineering, Technology and Sciences. 2015. Vol. 12, no. 1. pp. 110–122.

10.   Рамазанов А.-Р. К., Магомедова В. Г. Сплайны по рациональным интерполянтам // Дагестан. электрон. мат. изв. 2015. Вып. 4. C. 22–31.

11.   Рамазанов А.-Р. К., Магомедова В. Г. Сплайны по трехточечным рациональным интерполянтам //  Тр. Математического центра им. Н.И. Лобачевского. Казань, 2017. Т. 54. C. 304–306.

12.   Рамазанов А.-Р. К., Магомедова В. Г. Сплайны по трехточечным рациональным интерполянтам с автономными полюсами // Дагестан. электрон. мат. изв. 2017. Вып. 7. C. 16–28.

13.   Рамазанов А.-Р. К., Магомедова В. Г. Безусловно сходящиеся интерполяционные рациональные сплайны // Мат. заметки. 2018. Т. 103, № 4. С. 588–599. doi: 10.4213/mzm11201 .

Поступила 06.02.2018

Рамазанов Абдул-Рашид Кехриманович
д-р физ.-мат. наук, профессор
зав. кафедрой
Дагестанский государственный университет,
г. Махачкала;
главный науч. сотрудник
Дагестанский научный центр РАН,
г. Махачкала;
e-mail: ar-ramazanov@rambler.ru

Магомедова Вазипат Гусеновна
канд. физ.-мат. наук, доцент
Дагестанский государственный университет,
г. Махачкала
e-mail: vazipat@rambler.ru

English

A.-R.K. Ramazanov, V.G. Magomedova. Coconvex interpolation by splines with three-point rational interpolants

For discrete functions $f(x)$ defined on arbitrary grid nodes $\Delta: a=x_0<x_1<\dots<x_N=b$ $(N\geqslant 3)$, we study the issues of preserving the (upward or downward) convexity and coconvexity with a change of convexity direction by rational spline-functions $R_{N,1}(x)=R_{N,1}(x,f,\Delta,g(t))=(R_i(x)(x-x_{i-1})+R_{i-1}(x)(x_i-x))/(x_i-x_{i-1})$, where $x\in [x_{i-1},x_i]$ $(i=1,2,\dots,N)$, $R_i(x)=\alpha_i+\beta_i(x-x_i)+\gamma_i/(x-g_i(t))$ $(i=1,2,\dots,N-1)$, and $R_i(x_j)=f(x_j)$ $(j=i-1,i,i+1)$. The location of the pole $g_i(t)$ with respect to the nodes $x_{i-1}$ and $x_i$ is defined by the parameter $t$. We assume that $R_0(x)\equiv R_1(x)$ and $R_N(x)\equiv R_{N-1}(x)$. For these spines we derive the conditions $1/2<|q_i|<2$ of convexity preservation, where $q_i=f(x_{i-2},x_{i-1},x_i)/f(x_{i-1},x_i,x_{i+1})$ for $i=2,3,\dots,N-1$.

Keywords: interpolation spline, rational spline, coconvex interpolation, shape-preserving interpolation.

The paper was received by the Editorial Office on February 28, 2018.

Abdul-Rashid Kehrimanovich Ramazanov, Dr. Phys.-Math., Prof., Dagestan State University, the Republic of Dagestan, Makhachkala, 367002 Russia; Dagestan Scientific Center RAN, the Republic of Dagestan, Makhachkala, 367025 Russia, e-mail: ar-ramazanov@rambler.ru.

Vazipat Gusenovna Magomedova, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Dagestan State University, the Republic of Dagestan, Makhachkala, 367002 Russia, e-mail: vazipat@rambler.ru.

[References -> on the "English" button bottom right]