Е.В. Громова, Д.В. Громов, Ю.Э. Лахина. О решении дифференциальной игры управления инвестициями в рекламную кампанию ... С. 64-75

УДК 519.83

MSC: 91A23, 90B60

DOI: 10.21538/0134-4889-2018-24-2-64-75

Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект №17-11-01093).

В работе рассматривается дифференциальная игра управления инвестициями в рекламную кампанию для случая n симметричных игроков. Задача решается в классе позиционных стратегий как для кооперативной постановки игры, в которой игроки перед началом игры заключают соглашение об использовании управлений, максимизирующих суммарный выигрыш, так и для некооперативной постановки, в которой в качестве решения используется равновесие по Нэшу. Показывается, что решение задачи не является единственным в обоих случаях. Проводится детальный анализ, в ходе которого выявляется единственная функция–кандидат. Далее решение отбирается по экономическому критерию, описанному в работе Басса, Кришнамурти, Прасада, Сефи, 2005. Отобранные ранее решения полностью согласуются с результатом отбора по экономическому критерию.

Ключевые слова: неантагонистические дифференциальные игры, равновесие по Нэшу, модель управления рекламной кампанией.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Александров А.Г. Оптимальные и адаптивные системы: уч. пособ. М.: Высш. шк, 1989. 263 с. ISBN: 5-06-000037-0 .

2.   Багно А.Л., Тарасьев А.М. Свойства функции цены в задачах оптимального управления с бесконечным горизонтом // Вестн. Удмурт. ун-та. Математика. Механика. Компьют. науки. 2016. Т. 26, вып. 1. С. 3–14. doi: 10.20537/vm160101 .

3.   Беллман Р. Динамическое программирование. М.: И.Л., 1960. 400 c.

4.   Жуковский В.И., Чикрий A.А. Линейно-квадратичные дифференциальные игры. Киев: Изд-во Науковая Думка, 1994. 320 с. ISBN: 5-12-003981-2 .

5.   Жуковский В.И. Введение в дифференциальные игры при неопределенности / Междунар. НИИ Проблем управления. М., 1997. 446 с. ISBN: 5-900887-14-6 .

6.   Зенкевич Н., Петросян Л., Янг Д. Динамические игры и их приложения в менеджменте. СПб: Изд-во Высш. шк. менеджмента, 2009. 415 с. ISBN: 978-5-9924-0026-7 .

7.   Клейменов А.Ф. Неантагонистические позиционные дифференциальные игры. Екатеринбург: Наука. Изд-во УРО, 1993. 185 с. ISBN: 5-7691-0353-1 .

8.   Костюнин С.Ю., Шевкопляс Е.В. Об упрощении интегрального выигрыша в дифференциальных играх со случайной продолжительностью // Вестн. С.-Петербург. ун-та. Сер. 10. Прикл. математика. Информатика. Процессы управления. 2011. № 4. P. 47–56.

9.   Красовский Н.Н., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1974. 456 с.

10.    Петросян Л.А., Данилов Н.Н. Кооперативные дифференциальные игры и их приложения. Томск: Изд-во Томск. ун-та, 1985. 273 с.

11.   Петросян Л.А., Зенкевич Н.А., Шевкопляс Е.В. Теория игр. СПб: БХВ-Петербург, 2012. 424 с. ISBN: 978-5-9775-0484-3 .

12.   Петросян Л.А., Шевкопляс Е.В. Кооперативные дифференциальные игры со случайной продолжительностью // Вестн. С.-Петербург. ун-та. Сер. 1: Математика, механика, астрономия. 2000. № 4. С. 14–18.

13.   Хлопин Д.В. Тауберова теорема для дифференциальных игр // Мат. теория игр и ее приложения. 2015. Vol. 7, № 1. С. 92–120.

14.   Шевкопляс Е.В. Оптимальные решения в дифференциальных играх со случайной продолжительностью // Современ. математика. Фундамент. направления. 2011. Vol. 42. (Тр. Междунар. конф. по мат. теории управления и механике; Суздаль, 3–7 июля 2009). М., 2011. C. 235–243.

15.   Differential games in economics and management science / E.J. Dockner, S. Jorgensen, N.V. Long, G. Sorger. Cambridge: Cambridge University Press, 2000. 396 p. doi: 10.1017/CBO9780511805127 .

16.   Basar T., Olsder G.J. Dynamic noncooperative game theory. 2nd ed. Philadelphia: SIAM, 1999. 511 p. (Classics Appl. Math.) doi: 10.1137/1.9781611971132 .

17.   Fershtman C. Goodwill and market shares in oligopoly // Economica. 1984. Vol. 51. P. 271–281.

18.   Garcia-Meza M.А., Gromova E.V., Lopez-Barrientos J.D. Stable marketing cooperation in a differential game for an oligopoly// Int. Game Theory Rev., id: 1750028.
doi: 10.1142/S0219198917500281 .

19.   Generic and brand advertising strategies in a dynamic duopoly / F.M. Bass, A. Krishnamoorthy, A. Prasad, S.P. Sethi // Mark. Sci. 2005. Vol. 24, no. 4. P. 556–568. doi: 10.1287/mksc.1050.0119 .

20.   Jorgensen S., Gromova E.V. Sustaining cooperation in a differential game of advertising goodwill accumulation // Eur. J. Oper. Res. 2016. Vol. 254, no. 1. P. 294–303. doi: 10.1016/j.ejor.2016.03.029 .

21.   Jorgensen S., Zaccour G. Differential games in marketing. N Y: Springer Science; Business Media, 2004. 159 p. ISBN: 978-1-4419-8929-1 .

22.   Huang, J., Leng M., Liang L. Recent developments in dynamic advertising research // European J. Oper. Res. 2012. Vol. 220, no. 3. P. 591–609. doi: 10.1016/j.ejor.2012.02.031 .

23.   Marin-Solano J., Shevkoplyas E.V. Non-constant discounting and differential games with random time horizon // Automatica. Vol. 47, no. 12. P. 2626–2638. 2011. doi: 10.1016/j.automatica.2011.09.010 .

24.   Nair A., Narasimhan R. Dynamics of competing with quality- and advertising-based goodwill // European J. Operational Research. 2006. Vol. 175, no.  1. P. 462–474.

25.   Nerlove M., Arrow K.J. Optimal advertising policy under dynamic conditions // Economica. 1962. Vol. 29, no. 114. P. 129–142. doi: 10.2307/2551549 .

26.   Ramsey F.P. A mathematical theory of saving // Economic J. 1928. Vol. 38, no. 152. P. 543–559. doi: 10.2307/2224098 .

27.   Reynolds S.S. Dynamic oligopoly with capacity adjustment costs // J. Economic Dynamics & Control. 1991. Vol. 15. P. 491–514. doi: 10.1016/0165-1889(91)90003-J .

Поступила 3.03.2018

Громова Екатерина Викторовна
д-р физ.-мат. наук, доцент,
Институт математики и механики им. Н.Н.Красовского УрО РАН, г. Екатеринбург;
доцент кафедры математической теории игр и статистических решений
Санкт-Петербургский государственный университет, г. Санкт-Петербург
e-mail: e.v.gromova@spbu.ru

Громов Дмитрий Валерьевич
канд. техн. наук,
Институт математики и механики им. Н.Н.Красовского УрО РАН, г. Екатеринбург;
доцент кафедры вычислительных методов механики деформируемого тела
Санкт-Петербургский государственный университет, г. Санкт-Петербург
e-mail: d.gromov@spbu.ru

Лахина Юлия Эдуардовна
студент
Санкт-Петербургский государственный университет, г. Санкт-Петербург
e-mail: juliala1401@gmail.com

English

E.V. Gromova, D.V. Gromov, Yu.E. Lakhina. On the solution of a differential game of managing the investments in an advertising campaign

We consider a differential game of managing the investments in an advertising campaign for the case of n symmetric players. The problem is solved in the class of positional strategies both for the cooperative statement, where the players agree on using controls that maximize the total payoff before the game starts, and for the noncooperative statement, in which the Nash equilibrium is used as a solution. It is shown that the solution of the problem is not unique in both cases. One candidate function is found by means of a detailed analysis. Then the solution is chosen with the use of an economic criterion described by Bass, Krishnamoorthy, Prasad, and Sethi in 2005. The solutions chosen earlier are in complete agreement with the choice with respect to the economic criterion.

Keywords: non-zero-sum differential games, Nash equiiibrium, advertising model.

The paper was received by the Editorial Office on March 3, 2018

Ekaterina Viktorovna Gromova, Dr. Phys.-Math. Sci., Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics, Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620990 Russia; Saint Petersburg University, St Peterburg, 199034 Russia, e-mail: e.v.gromova@spbu.ru.

Dmitrii Valer’evich Gromov, Cand. Technical Sci., Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics, Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620990 Russia; Saint Petersburg University, St Peterburg, 199034 Russia, e-mail: d.gromov@spbu.ru.

Yuliya Eduardovna Lakhina, undergraduate student, Saint Petersburg University, St Peterburg, 199034 Russia, e-mail: juliala1401@gmail.com.