М.П. Голубятников. Автоморфизмы дистанционно регулярного графа с массивом пересечений {35, 32, 28; 1, 4, 8} ...С.54-63

УДК 519.17

MSC: 05C25

DOI: 10.21538/0134-4889-2018-24-2-54-63

Продолжается изучение автоморфизмов дистанционно регулярных локально циклических графов с числом вершин не более 4096 (массивы пересечений таких графов были найдены найдены ранее А.А. Махневым и М.С. Нировой). Пусть $\Gamma$ - дистанционно регулярный граф с массивом пересечений $\{35,32,28;1,4,8\}$. Тогда он имеет собственное значение $\theta_2 = -1$, граф $\bar \Gamma_3$ является псевдогеометрическим для сети $pG_8(35,8)$ и имеет параметры $(1296,315,90,72)$. В данной работе изучаются возможные автоморфизмы указанных выше графов. В частности доказано, что для графа $\Gamma$ с массивом пересечений $\{35,32,28;1,4,8\}$ и $G={\rm Aut}(\Gamma)$ имеем  $\pi(G)\subseteq \{2,3,5,7\}$. Далее, если неразрешимая группа $G={\rm Aut}(\Gamma)$ действует транзитивно на множестве вершин графа с массивом пересечений $\{35,32,28;1,4,8\}$, $\bar T$ - цоколь группы $\bar G=G/S(G)$, то $G=S(G)G_a$, $\bar T_a\cong A_5$ и $\bar T_{a,b}\cong A_4$ для подходящих вершин $a\in \Gamma$ и $b\in [a]$.
        
Ключевые слова: сильно регулярный граф, дистанционно регулярный граф, автоморфизм графа.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Makhnev A.A., Nirova M.S. On distance-regular graphs with λ = 2 // J. Siberian Federal Univ. 2014. Vol. 7, no. 2. P. 204–210.

2.   Махнев А.А., Падучих Д.В. О группе автоморфизмов дистанционно регулярного графа с массивом пересечений {24,21,3;1,3,18} // Алгебра и логика. 2012. Vol. 51, no. 4. C. 476–495.

3.   Makhnev A.A., Nirova M.S. On automorphisms of a distance-regular graph with intersection array {51,48,8;1,4,36} // Dokl. Math. 2013. Vol. 87, no. 3. P. 269–273.

4.   Makhnev A.A., Paduchikh D.V. Automorphisms of a distance-regular graph with intersection array {18,15,9;1,1,10} // Commun. Math. Stat. 2015. Vol. 3, no. 4. P. 527–534. doi: 10.1007/s40304-015-0072-z .

5.   Atlas of finite groups / J.H. Conway [et. al.]. Oxford: Clarendon Press, 1985. 252 p.

6.   Brouwer A.E., Cohen A.M., Neumaier A. // Distance-regular graphs. Berlin; Heidelberg; N Y: Springer-Verlag, 1989. 495 p. ISBN: 0387506195 .

7.   Cameron P.J. Permutation groups Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1999. 232 p. (London Math Soc. Student Texts; vol. 45). ISBN: 0-521-65302-9 .

8.   Gavrilyuk A.L., Makhnev A.A. Об автоморфизмах дистанционно регулярных графов с массивами пересечений {56,45,1;1,9,56} // Докл. АН. 2010. Vol. 432, no. 5. P. 583–587.

9.   Behbahani M., Lam C. Strongly regular graphs with nontrivial automorphisms // Discrete Math. 2011. Vol 311, no. 2-3. P. 132–144. doi: 10.1016/j.disc.2010.10.005 .

10.   Brouwer A., Haemers W. The Gewirtz graph: an exercise in the theory of graph spectra // Europ. J. Comb. 1993. Vol. 14, no. 5. P. 397–407. doi: 10.1006/eujc.1993.1044 .

11.   Zavarnitsine A.V. Finite simple groups with narrow prime spectrum // Sib. Electronic Math. Reports. 2009. Vol. 6. P. 1–12.

Поступила 27.02.2018

Голубятников Михаил Петрович 
студент
Уральский федеральный университет,
г. Екатеринбург
e-mail: mike_ru1@mail.ru

English

M.P. Golubyatnikov. Automorphisms of a distance-regular graph with intersection array {35, 32, 28; 1, 4, 8}

We continue the study of automorphisms of distance-regular locally cyclic graphs with at most 4096 vertices (the intersection arrays of such graphs were found earlier by A.A. Makhnev and M.S. Nirova). Let $\Gamma$ be a distance-regular graph with intersection array $\{35,32,28;1,4,8\}$. Then it has eigenvalue $\theta_2=-1$ and the graph $\bar \Gamma_3$ is pseudogeometric for the net $pG_8(35,8)$ and has parameters $(1296,315,90,72)$. We study possible automorphisms of such graphs. In particular, for a graph $\Gamma$ with intersection array $\{35,32,28;1,4,8\}$ and $G={\rm Aut}(\Gamma)$, it is proved that $\pi(G)\subseteq \{2,3,5,7\}$. Further, if a nonsolvable group $G={\rm Aut}(\Gamma)$ acts transitively on the vertex set of a graph with intersection array $\{35,32,28;1,4,8\}$ and $\bar T$ is the socle of the group $\bar G=G/S(G)$, then $G=S(G)G_a$, $\bar T_a\cong A_5$, and $\bar T_{a,b}\cong A_4$ for some vertices $a\in \Gamma$ and $b\in [a]$.

Keywords: strongly regular graph, distance-regular graph, graph automorphism.

The paper was received by the Editorial Office on Februery 27, 2018.

Mikhail Petrovich Golubyatnikov, undergraduate student, Ural Federal University, Yekaterinburg, 620002 Russia, e-mail: mike_ru1@mail.ru.