Д.И. Борисов. О лакунах в спектре Лапласиана в полосе с периодическим дельта-взаимодействием ... С. 46-53

УДК 517.958

MSC: 35P05, 47A10

DOI: 10.21538/0134-4889-2018-24-2-46-53

Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта № 18-01-00046.

В работе рассматривается оператор Лапласа в плоской бесконечной полосе с периодическим дельта-взаимодействием. Ширина полосы фиксирована и для простоты выбрана равной $\pi$. Дельта взаимодействие вводится на периодической системе кривых. Каждая кривая состоит из конечного числа кусков  гладкости $C^1$ каждый. Кривые предполагаются строго внутренними и с границами  полосы не пересекаются. Период расположения кривых равен $2\varepsilon\pi$, где $\varepsilon$ - некоторое достаточно малое число. Функция, описывающая дельта-взаимодействие, также задается периодической на описанной системе кривых и предполагается ограниченной и измеримой. Основной результат состоит в следующем. Показано, что если $\varepsilon\leqslant \varepsilon_0$, где $\varepsilon_0$ - некоторое явно вычисленное число, а норма функции, описывающее дельта-взаимодействие, меньше некоторой явной константы, то в нижней части спектра рассматриваемого оператора отсутствуют внутренние лакуны. Под нижней частью понимается зона спектра до некоторой точки, которая явно вычислена в терминах параметра $\varepsilon$ в виде весьма простой функции. Данный результат можно рассматривать как первый шаг к доказательству усиленной гипотезы Бете-Зоммерфельда о полном отсутствии лакун в спектре описанного оператора при достаточно малом периоде расположения дельта-взаимодействий.

Ключевые слова: периодический оператор, Лапласиан, дельта-взаимодействие, зонный спектр, отсутствие лакун.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Борисов Д.И. О лакунах в нижней части спектра периодического магнитного оператора в полосе // Современная математика. Фундаментальные направления. 2017. Т. 63, no. 3. C. 373–391. doi: 10.22363/2413-3639-2017-63-3-373-391 .

2.   Скриганов М.М. Геометрические и арифметические методы в спектральной теории многомерных периодических операторов // Тр. МИАН СССР. 1985. Т. 171. C. 3–122.

3.   Beeken C.B.E. Periodic Schr$\ddot{\mathrm{o}}$dinger operators in dimension two: constant magnetic fields and boundary value problems. PhD thesis / University of Sussex. Brighton, 2002. 118 p.

4.   Borisov D., Cardone G. Homogenization of the planar waveguide with frequently alternating boundary conditions // J. Phys. A. Math. Gen. 2009. Vol. 42, no. 36. id 365205. doi: 10.1088/1751-8113/42/36/365205 .

5.   Borisov D., Bunoiu R., Cardone G. On a waveguide with frequently alternating boundary conditions: homogenized Neumann condition // Ann. H. Poincar$\acute{\mathrm{e}}$. 2010. Vol. 11, no. 8. P. 1591–1627. doi: 10.1007/s00023-010-0065-0 .

6.   Borisov D., Bunoiu R., Cardone G. Waveguide with non-periodically alternating Dirichlet and Robin conditions: homogenization and asymptotics // Zeit. Angew. Math. Phys. 2013. Vol. 64, no. 3. P. 439–472. doi: 10.1007/s00033-012-0264-2 .

7.   Dahlberg B.E.J., Trubowitz E. A remark on two dimensional periodic potentials // Comment. Math. Helvetici. 1982. Vol. 57, no. 1. P. 130–134. doi: 10.1007/BF02565850 .

8.   Karpeshina Y. Spectral properties of the periodic magnetic Schr$\ddot{\mathrm{o}}$dinger operator in the high-energy region. Two-dimensional case // Comm. Math. Phys. 2004. Vol. 251, no. 3. P. 473–514. doi: 10.1007/s00220-004-1129-0 .

9.   Mohamed A. Asymptotic of the density of states for the Schr$\ddot{\mathrm{o}}$dinger operator with periodic electromagnetic potential // J. Math. Phys. 1997. Vol. 38, no. 8. P. 4023–4051. doi: 10.1063/1.532105 .

10.   Parnovski L. Bethe-Sommerfeld conjecture // Ann. H. Poincar$\acute{\mathrm{e}}$. 2008. Vol. 9, no. 3. P. 457–508. doi: 10.1007/s00023-008-0364-x .

11.   Parnovski L., Sobolev A.V. Bethe-Sommerfeld conjecture for periodic operators with strong perturbations // Invent. Math. 2010. Vol. 181, no. 3. P. 467–540. doi: 10.1007/s00222-010-0251-1 .

Поступила 26.03.2018

Борисов Денис Иванович
д-р физ.-мат. наук, профессор РАН
ведущий науч. сотрудник
и.о. зав. отделом
Институт математики с вычислительным центром УФИЦ РАН;
Башкирский государственный педагогический университет им. М.Акмуллы, г. Уфа;
Университет Градца Кралове, Чехия
e-mail: borisovdi@yandex.ru

English

D.I. Borisov. Gaps in the spectrum of the Laplacian in a band with periodic delta interaction

We consider the Laplace operator in an infinite planar strip with a periodic delta interaction. The width of the strip is fixed and for simplicity is chosen equal to $\pi$. The delta interaction is introduced on a periodic system of curves. Each curve consists of a finite number of segments, each having smoothness $C^1$. The curves are supposed to be strictly internal and do not intersect the boundaries of the strip. The period of their location is $2\varepsilon\pi$, where $\varepsilon$ is a sufficiently small number. The function describing the delta interaction is also periodic on the system of curves and is assumed to be bounded and measurable. The main result is the following fact. If $\varepsilon\leqslant \varepsilon_0$, where $\varepsilon_0$ is a certain explicitly calculated number and the norm of the function describing the delta interaction is smaller than some explicit constant, then a lower part of the spectrum of the operator has no internal gaps. The lower part is understood as the band of the spectrum until some point, which is explicitly calculated in terms of the parameter $\varepsilon$ as a rather simple function. This result can be considered as a first step to the proof of the strengthened
Bethe-Sommerfeld conjecture on the complete absence of gaps in the spectrum of the operator for a sufficiently small period of location of delta interactions.

Keywords: periodic operator, Laplacian, delta interaction, band spectrum, absence of gaps.

The paper was received by the Editorial Office on March 26, 2018.

Denis Ivanovich Borisov. Dr. Phys.-Math. Sci., Prof. RAS, Institute of Mathematics, Ufa Federal Research Center, Russian Academy of Sciences, Ufa, 450008, Russia; Bashkir State Pedagogical University named after M.Akhmulla, Ufa, 450000, Russia; University of Hradec Kr$\acute{\mathrm{a}}$lov$\acute{\mathrm{e}}$, 500 03, Czech Republic, e-mail: borisovdi@yandex.ru.