У.А. Алексеева. Об определении броуновского листа ... С. 3-11

УДК 517.977

MSC: 60G60, 60G15

DOI: 10.21538/0134-4889-2018-24-2-3-11

Работа выполнена при финансовой поддержке постановления № 211 Правительства Российской Федерации, контракт № 02.A03.21.0006

Работа посвящена исследованию свойств броуновского листа — случайного поля, обобщающего процесс броуновского движения. Показано, что в качестве определения этой случайной функции, как и для процесса броуновского движения, можно использовать различные наборы свойств. Приведены четыре определения процесса броуновского движения и на их основе сформулированы четыре определения броуновского листа. Одним из интересных и ключевых в обсуждаемом контексте свойств броуновского движения является тот факт, что процесс с непрерывными траекториями и независимыми приращениями, стартующий из нуля, является гауссовским (теорема Дж. Дуба). В работе доказано обобщение этого утверждения на случай случайных полей, что позволило доказать эквивалентность сформулированных определений броуновского листа.

Ключевые слова: броуновский лист, броуновское движение, винеровский процесс, гауссовский процесс, случайное поле Винера — Ченцова.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Allen E.J. Modeling with Ito stochastic differential equations. N Y, Berlin, Springer, 2007. 228 p. doi: 10.1007/978-1-4020-5953-7 .

2.   Бовкун В.А. О моделях, приводящих к бесконечномерной стохастической задаче Коши // Теория вероятностей и ее применения. 2017. Т. 62, № 4. С. 803–804.

3.   Гихман И.И., Скороход А.В. Стохастические дифференциальные уравнения. Киев: Наукова думка, 1968. 355 c.

4.   Ито К., Маккин Г. Диффузионные процессы и их траектории. М.: Мир, 1968. 395 с.

5.   Булинский А.В., Ширяев А.Н. Теория случайных процессов. M.: Физматлит, 2005. 400 c.

6.   Da Prato G., Zabczyk J. Stochastic equations in infinite dimensions. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2014. 380 p. ISBN: 9781107295513 .

7.   Melnikova I.V. Stochastic cauchy problems in infinite dimensions. Regularized and generalized solutions. Boca Raton; London: CRC Press, Taylor & Francis Group, 2016. 300 p. ISBN: 1482210509 .

Поступила 19.03.2018

Алексеева Ульяна Алексеевна 
канд. физ.-мат. наук, доцент
доцент ИЕНиМ
Уральский федеральный университет,
г. Екатеринбург
e-mail: uliana.alekseeva@urfu.ru

English

U.A. Alekseeva. On the definition of a Brownian sheet

We study the properties of a Brownian sheet, which is a random field generalizing the Brownian motion. It is demonstrated that different sets of properties can be used to define this random function, just as in the case of the Brownian motion. We formulate four definitions of the Brownian motion and, based on them, four definitions of a Brownian sheet. An interesting property of the Brownian motion, which is important for our discussion, is the fact that a process with continuous trajectories and independent increments starting from zero is Gaussian (J. Doob’s theorem). In the present paper, we generalize this statement to the case of random fields, which allows us to prove the equivalence of the formulated definitions of a Brownian sheet.

Keywords: Brownian sheet, Brownian motion, Wiener process, Gaussian process, Wiener–Chentsov random field.

The paper was received by the Editorial Office on March 19, 2018.

Uliana Alekseevna Alekseeva, Cand. Sci. (Phys.-Math), Institute of Natural Sciences and Mathematics, Ural Federal University, Yekaterinburg, 620002 Russia, e-mail: uliana.alekseeva@urfu.ru.