А.Л .Агеев, Т.В. Антонова. К вопросу о глобальной локализации линий разрыва функции двух переменных ... С. 12-23

УДК 517.988.68

MSC: 65J20, 68U10

DOI: 10.21538/0134-4889-2018-24-2-12-23

Рассматривается некорректно поставленная задача локализации (определения положения) линий разрыва функции двух переменных. Вне линий разрыва функция двух переменных гладкая, а в каждой точке на линии имеет разрыв первого рода. Для равномерной сетки с шагом $\tau$ предполагается, что в каждом узле известны средние значения на квадрате со стороной $\tau$  от возмущенной функции. Возмущенная функция приближает точную функцию в пространстве $L_2(\mathbb{R}^2).$ Уровень возмущения $\delta$ известен. Для решения рассматриваемой задачи на основе процедур усреднения конструируются и исследуются глобальные дискретные алгоритмы аппроксимации множества линий разрыва множеством точек равномерной сетки. Основным результатом работы является формирование подхода к проблеме глобального изучения алгоритмов локализации. Для этого формулируются условия на точную функцию (класс корректности), проводится теоретическое изучение построенных алгоритмов на данном классе, вводятся характеристики алгоритмов, которые необходимо оценивать (понятие аппроксимации множества линий разрыва множеством точек равномерной сетки), и разрабатываются методы получения оценок. Для достижения поставленной цели используется упрощенная постановка: линии разрыва являются отрезками и предлагаемый алгоритм локализации имеет простейший блок прореживания. Устанавливается, что предложенный алгоритм позволяет получить точность локализации порядка $O(\delta).$ Также приводятся оценки других важных параметров, характеризующих работу алгоритма локализации.

Ключевые слова: некорректная задача, метод регуляризации, линии разрыва, глобальная локализация, дискретизация, порог разделимости.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1974. 223 c.

2.   Иванов В. К., Васин В. В., Танана В. П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. М.: Наука, 1978. 206 с.

3.   Vasin V. V., Ageev A. L. Ill-posed problems with a priori information. Utrecht: VSP, 1995. 255 с.

4.   Малла С. Вэйвлеты в обработке сигналов. М.: Мир, 2005. 671 с.

5.   Введение в контурный анализ и его приложения к обработке изображений и сигналов / ред. Я. А. Фурмана. М.: Физматлит, 2002. 596 с.

6.   Гонсалес Р., Вудс Р. Цифровая обработка изображений. (Изд. 3-е исправл. и допол.). М.: Техносфера, 2012. 1104 с.

7.   Антонова Т.В. Метод локализации линии разрыва приближенно заданной функции двух переменных // Сиб. журн. вычисл. математики. 2012. Т. 15, № 4. C. 345–357.

8.   Агеев А.Л., Антонова Т.В. Аппроксимация линий разрыва зашумленной функции двух переменных // Сиб. журн. индустр. математики. 2012. Т. 15, № 1(49). С. 3–13.

9.   Агеев А.Л., Антонова Т.В. Дискретный алгоритм локализации линий разрыва функции двух переменных // Сиб. журн. индустр. математики. 2017. Т. 20, № 4(72). С. 3–12. doi: 10.17377/sibjim.2017.20.401 .

Поступила 22.12.2017

Агеев Александр Леонидович 
д-р физ.-мат. наук
зав. отделом
Институт математики и механики им. Н.Н.Красовского УрО РАН;
Уральский федеральный университет,
г. Екатеринбург
e-mail: ageev@imm.uran.ru

Антонова Татьяна Владимировна
д-р физ.-мат. наук
вед. науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н.Красовского УрО РАН,
г. Екатеринбург
e-mail: tvantonova@imm.uran.ru

English

A.L. Ageev, T.V. Antonova. On the problem of global localization of discontinuity lines for a function of two variables

We consider the ill-posed problem of localizing (finding the position of) the discontinuity lines of a function of two variables that is smooth outside the discontinuity lines and has a discontinuity of the first kind at each point of such lines. A uniform square grid with step $\tau$ is considered, and it is assumed that the mean values of a perturbed function over squares with side $\tau$ are known at each node of the grid. The perturbed function approximates the exact function in the space $L_2(\mathbb{R}^2)$. The perturbation level $\delta$ is known. To solve the problem under consideration, we design and study global discrete algorithms that are based on averaging procedures and approximate the discontinuity lines by a set of points of a uniform grid. The main result of the paper is the development of an approach to the problem of the global study of localization algorithms. We formulate conditions for the exact function, thus defining a class of correctness. Within this class, we perform a theoretical study of the proposed algorithms, introduce the characteristics to be estimated, and develop methods for deriving the estimates. To achieve this goal, we use a simplified statement: the discontinuity lines are straight line segments, and the proposed localization algorithm has the simplest thinning block. It is established that the localization error of the algorithm has order $O(\delta)$. Estimates of other important parameters characterizing the localization algorithm are given.

Keywords: ill-posed problems, regularization method, discontinuity lines, global localization, discretization, separability threshold.

The paper was received by the Editorial Office on Dezember 22, 2017.

Aleksandr Leonidovich Ageev, Dr. Phys.-Math. Sci., Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics, Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620990 Russia, Ural Federal University, Yekaterinburg, 620002 Russia, e-mail: ageev@imm.uran.ru.

Tat’yana Vladimirovna Antonova, Dr. Phys.-Math. Sci., Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics, Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620990 Russia,
e-mail: tvantonova@imm.uran.ru