УДК 519.214
MSC: 16W50, 16Z99
DOI: 10.21538/0134-4889-2018-24-2-243-255
Полная версия статьи
Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект 15-01-04987 а).
В работе вычисляются коэффициенты ряда Гильберта - Пуанкаре $H_A(t)=\sum_{k=0}^{\infty}a_kt^k$ градуированной ассоциативной алгебры $A=\langle\langle x,y|x^m,y^n\rangle\rangle$ с единицей (теоремы 1 и 2). Других соотношений на алгебру не накладывается. Задача заключается в комбинаторной проблеме нахождения компактных формул (и асимптотики) числа ассоциативных слов фиксированной длины в алфавите $\{x,y\}$, не содержащих подслов $x^m$ и $y^n$. В работе с реккурентными соотношениями, производящими функциями и комбинаторными суммами используются как операции над степенными рядами (одного переменного), так и элементы теории вычетов комплексных переменных. Эти методы могут послужить дополнением к теореме Голода - Шафаревича, применение которой при $d=2$ и $m,n\leq9$ невозможно. В связи с группами Алешина, Григорчука, Гупты, особое внимание в работе уделено малым значениям $m,n\leq4$. Найдена асимптотика коэффициентов $a_k$. Проведено сравнение коэффициентов $a_k$ с коэффицинтами ряда $\sum_{k=0}^{\infty}c_kt^k$, обратного к многочлену $1-2t+t^m+t^n$. Указаны случаи отрицательных коэффициентов $c_k$ и неравенств $c_k>a_k$, что в теореме Голода - Шафаревича исключается ее условиями. Однако сложность полученных формул пока не позволяет находить дополнительные соотношения, достаточные для получения бесконечномерных нильалгебр.
Ключевые слова: ассоциативная нильалгебра, ряд Гильберта - Пуанкаре.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Уфнаровский В.А. Комбинаторные и асимптотические методы в алгебре// Итоги науки и техники. Соврем. проблемы математики Фундам. направления. ВИНИТИ. 1990. Т 57. С. 5–178.
2. Голод Е.С., Шафаревич И.Р. О башне полей классов// Изв. АН СССР. Cер. математическая. 1964. Т. 28, №2. С. 261–272.
3. Голод Е.С. О ниль-алгебрах и финитно аппроксимируемых p-группах// Изв. АН СССР. Cер. математическая. 1964. Т. 28, № 2. С. 273–276.
4. Херстейн И. Некоммутативные кольца. М.: Мир. 1982. 190 c.
5. Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. М.: Наука, 1982. 288 c.
6. Алешин С. В. К проблеме Бернсайда о периодических группах // Мат. заметки. 1972. Vol. 32, №3. С. 319–328.
7. Григорчук Р.И. К проблеме Бернсайда о периодических группах // Функц. анализ и его приложения. 1980. Vol. 14, № 1. С. 53–54.
8. Gupta N., Sidki S. Some infinite p-groups// Алгебра и логика. 1983. Vol. 22, № 5. С. 584–586.
9. Егорычев Г.П. Интегральное представление и вычисление комбинаторных сумм / СО АН СССР. Новосибирск: Наука, 1979. 286 c.
10. Коуровская тетрадь: Нерешенные вопросы теории групп. 15-е издание. Новосибирск. 2002.
11. Шунков В.П. Об одном классе p-групп// Алгебра и логика. 1970. Т. 9, №4. С. 484-496.
12. Созутов А.И., Александрова И.О. О некоторых свойствах присоединенных групп ассоциативных нильалгебр // Алгебра и логика: теория и приложения: тез. докл. Международ. конф. / Сиб. федерал. ун-т. Красноярск, 2013 г. C. 12–14.
13. Sozutov A.I., Alexandrova I.O. On some propeties of adjoint groups of associative nil algebras / Журнал Сиб. федерал. ун-та. Математика и физика. 2017. Т. 10, № 4. С. 503–508.
14. Ландо С.К. Лекции о производящих функциях: учеб. М.: МЦНМО, 2007. 144 с.
15. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ. Ч. 1. Функции одного переменного: учеб. М.: Наука, 1985. 336 с.
Поступила 28.03.2018
Созутов Анатолий Ильич
д-р физ.-мат. наук, профессор
Сибирский федеральный университет,
г. Красноярск
e-mail: sozutov_ai@mail.ru
Егорычев Георгий Петрович
д-р физ.-мат. наук, профессор
Сибирский федеральный университет,
г. Красноярск
e-mail: gegorych@mail.ru
Александрова Инна Олеговна
старший преподаватель
Сибирский федеральный университет,
г. Красноярск
e-mail: aio40@mail.ru
English
A.I. Sozutov, G.P. Egorychev, I.O. Aleksandrova. On Hilbert–Poincare series of associative nilalgebras generated by two nilelements.
The coefficients of the Hilbert-Poincare series $H_A(t)=\sum_{k=0}^{\infty}a_kt^k$ of a graded associative algebra $A=\langle\langle x,y|x^m,y^n\rangle\rangle$ with unit are calculated (Theorems 1 and 2). There are no other constraints on the algebra. The problem is the combinatorial search for compact formulas (and asymptotics) for the number of associative words of fixed length in the alphabet $\{x,y\}$ not containing the subwords $x^m$ and $y^n$. Working with recurrence relations, generating functions, and combinatorial sums, we use operations with power series (of one variable) and elements of the theory of residues for complex variables. These methods supplement the Golod-Shafarevich theorem, which is inapplicable for $d=2$ and $m,n\leq9$. In connection with Aleshin, Grigorchuk, and Gupta groups, we pay a special attention to the small values $m,n\leq4$. An asymptotic expansion of the coefficients $a_k$ is found, and $a_k$ are compared with the coefficients of the series $\sum_{k=0}^{\infty}c_kt^k$, which is the inverse of the polynomial $1-2t+t^m+t^n$. We also consider the cases of negative coefficients $c_k$ and inequalities $c_k>a_k$, which are excluded by the conditions of the Golod-Shafarevich theorem. However, additional relations sufficient for obtaining infinite-dimensional nilalgebras cannot be found yet because the obtained formulas are rather cumbersome.
Keywords: associative nilalgebra, Hilbert-Poincare series.
The paper was received by the Editorial Office on March 28, 2018.
Funding Agency:
Russian Foundation for Basic Research (Grant Number 15-01-04987 а).
Anatolii Ilich Sozutov, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Siberian Federal University, Krasnoyarsk, 660041 Russia, e-mail: sozutov_ai@mail.ru.
Georgii Petrovich Egorychev, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Siberian Federal University, Krasnoyarsk, 660041 Russia, e-mail: gegorych@mail.ru.
Inna Olegovna Aleksandrova, Siberian Federal University, Krasnoyarsk, 660041 Russia, e-mail: aio40@mail.ru.
[References on the English button bottom right]
