А.А. Соловьев, С.В. Репьевский. Оценка остаточного члена эллиптического синуса ... С. 256-265

УДК 517.583

MSC: 33E05, 41A80

DOI: 10.21538/0134-4889-2018-24-2-256-265

Основным результатом работы является весовая оценка остаточного члена $U_n(v,k){(1-k^2)^{n+1}}$ разложения эллиптического синуса $z={\mathrm{sn}}(v;k^2)$ по степеням $k^2-1$ в промежутке  $[0,1)$. Доказывается, что
\begin{equation*}
\vert {(\cosh v})^2 U_n(v,k){(1-k^2)^{n+1}}\vert\leqslant {\rm
  const}\frac{(1-k^2)^{n+1}}{(1-z)^{n+1}}\,\, (z\in [0,1),\,k\in [0,1)),
\end{equation*} где $ {\rm const}$ не зависит от $z$ и $k$. Одновременно предлагается  алгоритм нахождения членов асимптотического разложения эллиптического синуса. Формально коэффициенты разложения функции  $z={\mathrm sn}(v;k^2)$ в ряд по степеням  $k^2-1$ могут быть получены по следующей схеме. Рассматривается эллиптический интеграл Лежандра I рода в форме Якоби $v=u(z,k^2)\,\,  (z\in [0,1),\,k\in [0,1))$ и вводится вспомогательная функция $v^{(0)}=u(z,1)$. На первом шаге функция $z=\tanh v^{(0)}$ разлагается в ряд по степеням   $v-v^{(0)}$. Затем разность $v-v^{(0)}= u(z,k^2)-u(z,1)$ представляется рядом Тейлора по степеням  $k^2-1$ и подставляется в разложение функции  $z=\tanh v^{(0)}$. В коэффициентах разложения при степенях  $k^2-1$ переменная $z$ заменяется на $\tanh v^{(0)}$, которая разлагается по степеням  $v-v^{(0)}$. Далее, шаги повторяются. Эта процедура позволяет находить  все коэффициенты  асимптотического разложения эллиптического синуса  $z={\mathrm{sn}}(v;k^2)$ при $k\to 1$, но связана она с большими вычислительными трудностями. Предложенный же в работе  алгоритм основан на выделении слагаемых в разложении, вносящих вклад в остаточный член, и оценки таких слагаемых.

Ключевые слова: эллиптический синус, асимптотическое разложение, гиперболические функции.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Abramowitz M., Stegun I. A. Handbook of mathematical functions with formulas, graphs, and mathematical tables. Washington, D.C. 20402 : National Bureau of Standards, 1972. 1046 p. ISBN: 0-486-61272-4 .

2.   Ахиезер Н.И. Элементы теории эллиптических функций. М.: Наука, 1970. 304 c.

3.   Маркушевич А.И. Теория аналитических функций. Том 1. М.: Наука, 1967. 486 с.

4.   Kiselev O. M. Uniform asymptotic behaviour of Jacobi-sn near a singular point. The Lost formula from handbooks for elliptic functions [e-resource]. 2015. 9 p. URL: https://arxiv.org/pdf/1510.06602.pdf .

5.   Красильников А.В. Об асимптотике эллиптического синуса // Челяб. физ.-мат. журн. 2017. Т. 2, № 2. С. 169–180.

Поступила 10.01.2018

Соловьев Александр Артёмович
д-р физ.-мат. наук, профессор
зав. кафедрой компьютерной безопасности и прикладной алгебры
Челябинский государственный университет,
г. Челябинск
e-mail: alsol@csu.ru

Репьевский Сергей Владимирович
ассистент кафедры вычислительной математики
Челябинский государственный университет,
г. Челябинск
e-mail: repyevsky@gmail.com

English

A.A. Solov’ev, S.V. Rep’evskii. An estimate for the remainder in the expansion of the elliptic sine.

The main result of the paper is a weighted estimate for the remainder $U_n(v,k)(1-k^2)^{n+1}$ of the asymptotic expansion of the elliptic sine $z=\mathrm{sn}(v;k^2)$ in powers of $k^2-1$ in the interval $[0, 1)$. We show that
\begin{equation*}
\vert {(\cosh v})^2 U_n(v,k){(1-k^2)^{n+1}}\vert\leqslant {\rm
  const}\frac{(1-k^2)^{n+1}}{(1-z)^{n+1}}\,\, (z\in [0,1),\,k\in [0,1)),
\end{equation*} where the constant is independent of $z$ and $k$. We also propose an algorithm for finding the terms of the expansion. The coefficients of the expansion can be formally obtained by the following scheme. We consider the Legendre elliptic integral of the first kind in the Jacobi form $v=u(z,k^2)$ ($z\in[0,1)$, $k\in[0,1)$) and introduce an auxiliary function $v^{(0)}=u(z,1)$. At the first step, the function $z=\tanh v^{(0)}$ is expanded in a series in powers of $v-v^{(0)}$. Then we represent the difference $v-v^{(0)}=u(z, k^2)-u(z,1)$ as the Taylor series in powers of $k^2-1$ and substitute it into the expansion of the function $z=\tanh v^{(0)}$. In the coefficients of the expansion in powers of $k^2-1$, the variable $z$ is replaced by the value $\tanh v^{(0)}$, which is expanded in powers of $v-v^{(0)}$. Next, the steps are repeated. Using this procedure, we can find all the coefficients of the asymptotic expansion of the elliptic sine $z={\mathrm{sn}}(v;k^2)$ as $k\to 1$, although the procedure involves significant computational difficulties. The algorithm proposed in this paper is based on finding terms of the expansion that contribute to the remainder and estimating them.

Keywords: elliptic sine, asymptotic expansion, hyperbolic functions.

The paper was received by the Editorial Office on January 18, 2018.

Aleksandr Artemovich Solov'ev, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Chelyabinsk State University, Chelyabinsk, 454001 Russia, e-mail: alsol@csu.ru.

Sergei Vladimirovich Rep'evskii, Chelyabinsk State University, Chelyabinsk, 454001 Russia,
e-mail: repyevsky@gmail.com.