А.С. Апарцин, И.В. Сидлер. Исследование тестовых уравнений Вольтерра I рода в интегральных моделях развивающихся систем ... С. 24-33

УДК 519.642.5

MSC: 45D05, 65R20

DOI: 10.21538/0134-4889-2018-24-2-24-33

Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект 15-01-01425) и в рамках Программы фундаментальных исследований СО РАН (проект АААА-А17-117030310446-6).

Важным элементом интегральных моделей развивающихся систем являются уравнения Вольтерра I рода, описывающие баланс между требуемым уровнем развития системы и возможностью его достижения совокупностью элементов системы, принадлежащих различным возрастным группам. Оказывается, при некоторых соотношениях между коэффициентами эффективности функционирования таких элементов (ядрами соответствующих интегральных операторов) решение балансового уравнения неизбежно с течением времени становится неустойчивым. Специфику этого феномена позволяют понять простейшие тестовые уравнения. В данной работе такие уравнения, введенные ранее для случая двух возрастных групп, обобщены и исследованы применительно к трем возрастным группам элементов. Основным теоретическим результатом статьи, сформулированным в теореме 2, является мажорантная оценка такого узла любого метода квадратур численного решения тестового уравнения, в котором погрешность сеточного решения впервые превысит заданный сколь угодно большой порог при вычислениях на компьютере с фиксированной погрешностью округлений. Этот результат проиллюстрирован расчетами модельных примеров с помощью модифицированных методов левых и средних прямоугольников. Разработанная техника может быть естественным путем обобщена и на случай произвольного числа возрастных групп.

Ключевые слова: развивающаяся система, три возрастные группы, тестовое уравнение Вольтерра I рода, численное решение, неустойчивость.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Глушков В.М. Об одном классе динамических макроэкономических моделей // Управляющие системы и машины. 1977. № 2. С. 3–6.

2.   Глушков В.М., Иванов В.В., Яненко В.М. Моделирование развивающихся систем. М.: Наука, 1983. 350 c.

3.   Яценко Ю.П. Интегральные модели систем с управляемой памятью. Киев: Наук. думка, 1991. 218 c.

4.   Hritonenko N., Yatsenko Yu. Applied mathematical modelling of engineering problems. Dortrecht: Kluwer Acad. Publ., 2003. 308 p. doi: 10.1007/978-1-4419-9160-7.

5.   Апарцин А.С. Неклассические уравнения Вольтерра I рода: теория и численные методы. Новосибирск: Наука, 1999. 193 с.

6.   Messina E., Russo E., Vecchio A. A stable numerical method for Volterra integral equations with discontinuous kernel // J. Math. Anal. Appl. 2008. Vol. 337, iss 2. P. 1383–1393. doi: 10.1016/j.jmaa.2007.04.059.

7.   Апарцин А.С., Сидлер И.В. Применение неклассических уравнений Вольтерра I рода для моделирования развивающихся систем // Автоматика и телемеханика. 2013. № 6. С. 3–16.

8.   Интегральные модели для разработки стратегии технического перевооружения генерирующих мощностей / А.С. Апарцин, Е.В. Маркова, И.В. Сидлер, В.В. Труфанов // Электричество. 2017. № 3. С. 4–11. doi: 10.24160/0013-5380-2017-3-4-11.

9.   Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977. 752 с.

10.   Апарцин А.С. К теории интегральных уравнений Вольтерра I рода с разрывными ядрами // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2016. Т. 56, № 5. С. 824–839.
doi: 10.7868/s0044466916050069.

11.   Апарцин А.С. Формулы обращения и их конечномерные аналоги для некоторых классов уравнений Вольтерра I рода с разрывными ядрами [Электр. ресурс] // Тр. Междунар. конф. “Актуальные проблемы вычислительной и прикладной математики — 2015” (Новосибирск, 19–23.10.2015). Новосибирск: Абвей, 2015. 1 электрон. опт. диск. С. 62–69.

12.   Апарцин А.С. К исследованию устойчивости решений тестовых неклассических уравнений Вольтерра I рода // Сиб. электр. мат. изв.. 2015. Т. 12, № S. С. 15–20. doi: 10.17377/semi.2015.12.089.

13.   Апарцин А.С., Сидлер И.В. О тестовых уравнениях Вольтерра I рода в интегральных моделях развивающихся систем // Автоматика и телемеханика. 2018. № 4. С. 31–45.

14.   Brunner H., Van der Houwen P.J. The numerical solution of Volterra equations. CWI Monographs, Vol. 3. North-Holland, Amsterdam, 1986. 588 p. ISBN: 0-444-70073-0 .

15.   Brunner H. Collocation methods for Volterra integral and related functional differential equations. Cambridge: Cambridge University Press, 2004. 597 p. doi: 10.1017/CBO9780511543234 .

16.   Brunner H. Volterra integral equations: An introduction to theory and applications. Cambridge: Cambridge University Press, 2017. 387 p. doi: 10.1017/9781316162491 .

17.   Апарцин  А.С., Сидлер  И.В. Численное решение уравнений Вольтерра I рода в интегральных моделях развивающихся систем // Сб. тр. Междунар. симп. “Обобщенные постановки и решения задач управления”. М.: АНО “Изд-во физ.-мат. литературы”, 2014. С. 21–25.

18.   Апарцин  А.С., Сидлер  И.В. О численном решении неклассических уравнений Вольтерра I рода // Сб. ст. IX Междунар. науч.-техн. конф. “Аналитические и численные методы моделирования естественнонаучных и социальных проблем”. Пенза: Педагог. гос. ун-т, 2014. С. 59–64.

Поступила 10.12.2017

Апарцин Анатолий Соломонович 
д-р физ.-мат. наук
главный науч. сотрудник
Институт систем энергетики им. Л.А. Мелентьева СО РАН,
г. Иркутск
e-mail: apartsyn@isem.irk.ru

Сидлер Инна Владимировна
канд. технич.. наук
старший науч. сотрудник
Институт систем энергетики им. Л.А. Мелентьева СО РАН,
г. Иркутск
e-mail: inna.sidler@mail.ru

English

A.S. Apartsyn, I.V. Sidler. Study of test Volterra equations of the first kind in integral models of developing systems

Volterra equations of the first kind are an important element of integral models of developing systems. They describe the balance between the required level of system development and the possibility of achieving this level by a set of elements of the system belonging to different age groups. The solution to the balance equation, which is continuous on any finite time interval, inevitably becomes unstable over time for some relations between the efficiency coefficients of the elements (kernels of the corresponding operators). The simplest test equations allow us to understand the specifics of this phenomenon. Such equations were introduced earlier for the case of two age groups, and we generalize them to the case of three age groups of elements and investigate the obtained equations. The main theoretical result, formulated in Theorem 2, is a majorant estimate for a grid node of any quadrature method for the numerical solution of a test equation where the error of the grid solution exceeds for the first time a given arbitrarily large threshold in the case of using a computer with a fixed rounding error. The result is illustrated by calculations for model examples with the use of modified methods of left and middle rectangle. The developed technique can be naturally extended to the case of an arbitrary number of age groups.

Keywords: developing system, three age groups, test Volterra equation of the first kind, numerical solution, instability.

The paper was received by the Editorial Office on December 10, 2017.

Anatoly Solomonovich Apartsyn, Dr. Phys.-Math. Sci., Melentiev Energy Systems Institute Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences, Irkutsk, 664033 Russia, e-mail: apartsyn@isem.irk.ru.

Inna Vladimirovna Sidler, PhD, Melentiev Energy Systems Institute Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences, Irkutsk, 664033 Russia, e-mail: inna.sidler@mail.ru.