Н.В. Мунц, С.С. Кумков. О совпадении минимаксного решения и функции цены игры быстродействия с линией жизни ... С. 200-214

УДК 517.977

MSC: 91A23, 49N70, 49N75, 49J35, 35Q91

DOI: 10.21538/0134-4889-2018-24-2-200-214

Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект № 18-01-00410).

В статье рассматриваются дифференциальные игры быстродействия с линией жизни. В таких играх наряду с терминальным множеством, куда стремится как можно быстрее привести систему первый игрок, имеется еще одно множество (называемое линией жизни), при попадании системы на которое выигрывает второй игрок. В качестве платы рассматривается результат применения замены Кружкова к времени достижения системой терминального множества. Также рассматриваются уравнения Гамильтона — Якоби, соответствующие таким играм. Обосновывается существование минимаксного решения у краевой задачи уравнения типа Гамильтона — Якоби. Для этого вводятся достаточно сильные предположения на динамику игры вблизи границы области, на которой игра происходит. А именно, каждый игрок имеет возможность направить движение системы на свое множество (первый — на терминальное, второй — на линию жизни), если система находится вблизи соответствующего множества. Такие предположения фактически приводят к непрерывности функции цены на области, где происходит игра. В тех же предположениях доказывается совпадение функции цены игры и минимаксного решения краевой задачи.

Ключевые слова: дифференциальные игры быстродействия с линией жизни, функция цены, уравнения Гамильтона — Якоби, минимаксное решение

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Айзекс Р. Дифференциальные игры. М.: Мир, 1967. 480 с.

2.   Petrosjan L. A. A family of differential survival games in the space $\mathbb R^n$ // Soviet Math. Dokl. 1965. No. 6. С. 377–380.

3.   Петросян Л.А. Дисперсионные поверхности в одном семействе игр преследования // Докл. АН Армянской ССР. 1966. Т 43, № 4. С. 193–197.

4.   Дуткевич Ю.Г., Петросян Л.А. Игра с “линией жизни”. Случай $l$-захвата // Вестн. Ленингр. ун-та. 1969. № 13. С. 31–38.

5.   Петросян Л.А. Дифференциальные игры преследования. Ленинград: Изд-во ЛГУ, 1977. 222 с.

6.   Красовский Н.Н., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1974. 456 с.

7.   Krasovskii N.N., Subbotin A.I. Game-theoretical control problems. N Y: Springer-Verlag, 1988. 517 p.

8.   Cardaliaguet P., Quincampoix M., Saint-Pierre P. Some algorithms for differential games with two players and one target // RAIRO – Mod$\acute{\mathrm{e}}$lisation math$\acute{\mathrm{e}}$matique et analyse num$\acute{\mathrm{e}}$rique. 1994. Vol. 28, № 4. P. 441–461. doi: 10.1051/m2an/1994280404411 .}

9.   Cardaliaguet P., Quincampoix M., Saint-Pierre P. Set-valued numerical analysis for optimal control and differential games // Stochastic and Differential Games. Annals Internat. Soc. Dynamic Games / eds. M. Bardi, T.E.S. Raghavan, T. Parthasarathy. Boston: Birkh$\ddot{\mathrm{a}}$user, 1999. Vol. 4. P. 177–247. doi: 10.1007/978-1-4612-1592-9_4 .

10.   Cardaliaguet P., Quincampoix M., Saint-Pierre P. Differential games through viability theory: Old and recent results // Advances in Dynamic Game Theory. Annals Internat. Soc. Dynamic Games / eds. S. Jorgensen, M. Quincampoix, T.L. Vincent. Boston: Birkh$\ddot{\mathrm{a}}$user, 2007. Vol. 9. P. 3–35.

11.   Субботин А.И. Обобщенные решения уравнений в частных производных первого порядка. Перспективы динамической оптимизации. М.; Ижевск: Ин-т компьютерных исследований, 2003. 336 с.

12.   Munts N.V., Kumkov S.S. Существование функции цены в игре быстродействия с линией жизни [e-resource] // Proc. 47th Internat. Youth School-Conf. “Modern Problems in Mathematics and its Applications” / eds. A.A. Makhnev, S.F. Pravdin. Yekaterinburg, 2016. С. 94–99. URL: http://ceur-ws.org/Vol-1662/opt6.pdf .

Поступила 28.02.2018

Мунц Наталья Владимировна
математик
Институт математики и механики им. Н.Н.Красовского УрО РАН,
г. Екатеринбург
e-mail: natalymunts@gmail.com

Кумков Сергей Сергеевич
канд. физ.-мат. наук, старший науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н.Красовского УрО РАН,
г. Екатеринбург
e-mail: sskumk@gmail.com

English

N. V. Munts, S. S. Kumkov. On the coincidence of the minimax solution and the value function in a time-optimal game with a lifeline.

We consider time-optimal differential games with a lifeline. In such games, as usual, there is a terminal set to which the first player tries to guide the system as fast as possible, and there is also a set, called a lifeline, such that the second player wins when the system attains this set. The payoff is the result of applying Kruzhkov’s change to the time when the system reaches the terminal set. We also consider Hamilton–Jacobi equations corresponding to such games. The existence of a minimax solution of a boundary value problem for a Hamilton–Jacobi type equation is proved. For this we introduce certain strong assumptions on the dynamics of the game near the boundary of the game domain. More exactly, the first and second players can direct the motion of the system to the terminal set and the lifeline, respectively, if the system is near the corresponding set. Under these assumptions, the value function is continuous in the game domain. The coincidence of the value function and the minimax solution of the boundary value problem is proved under the same assumptions.

Keywords: time-optimal differential games with a lifeline, value function, Hamilton–Jacobi equations, minimax solution.

The paper was received by the Editorial Office on February 28, 2018.

Natal’ya Vladimirovna Munts, Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics, Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620990 Russia,
e-mail: natalymunts@gmail.com.

Sergei Sergeevich Kumkov, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics, Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620990 Russia,
e-mail: sskumk@gmail.com.